經典力學/廣義坐標與約束分類

物理學 > 經典力學 > 廣義坐標與約束分類

廣義坐標與約束分類

• 自由度與廣義坐標：對$N$質點，笛卡爾坐標自由度為$3N$；約束獨立方程數為$s$，則自由度$f=3N-s$。選取$f$個獨立廣義坐標$𝐪=(q_1,\dots ,q_f)$描述構形。

• 約束類型

1. 幾何約束（定常/時間相關）：方程${\varphi }_{\alpha }(𝐫,t)=0$，若不顯含時間為定常約束。
2. 完整與非完整：若約束可寫為等式${\varphi }_{\alpha }(𝐫,t)=0$（可積分到構形空間子流形）為完整；若為不可積微分形式如$\sum a_i(𝐫,t)d{r}_i=0$為非完整。
3. 純滾動約束：為典型非完整約束，約束在速度層面。

• 速度與加速度的映射：$\dot{𝐫}=𝐉(𝐪,t)\dot{𝐪}$，其中$𝐉$為雅可比；加速度$\ddot{𝐫}=𝐉\ddot{𝐪}+\dot{𝐉}\dot{𝐪}$。

• 廣義速度與廣義力：廣義速度$\dot{𝐪}$定義於切空間；廣義力通過虛功$\delta W=\sum _i{𝐅}_i\cdot \delta {𝐫}_i=\sum _j{Q}_j\delta q_j$得到$Q_j$。

• 選擇坐標的原則：獨立、覆蓋可達構形、避免奇異；利用對稱性與約束直接消元，優先選擇角度、長度等天然參數。

練習

1. 一剛體在平面內純滾動，選取質心坐標$(x,y)$與姿態角$\theta$為廣義坐標，寫出速度約束並判定是否完整。
2. 兩擺連結為雙擺，寫出廣義坐標$({\theta }_1,{\theta }_2)$與末端位置${𝐫}_2({\theta }_1,{\theta }_2)$的表達式。