經典力學/極坐標與自然標架

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經典力學/極坐標與自然標架

平面極坐標（二維）

在平面內用極坐標 $(r,\theta )$ 描述位置。引入單位矢量 $\mathbf {e} _{r}$（徑向，指向原點外側）與 $\mathbf {e} _{\theta }$（切向，沿極角增大的方向）。位置矢量為 $\mathbf {r} =r\,\mathbf {e} _{r}.$

單位矢量隨時間的變化為 ${\dot {\mathbf {e} }}_{r}={\dot {\theta }}\,\mathbf {e} _{\theta },\qquad {\dot {\mathbf {e} }}_{\theta }=-{\dot {\theta }}\,\mathbf {e} _{r}.$

據此得到

1. 速度： $\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}\,\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\,\mathbf {e} _{\theta }.$

2. 加速度： $\mathbf {a} ={\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})\,\mathbf {e} _{r}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }})\,\mathbf {e} _{\theta }.$

說明：

1. 徑向分量中的 $-r{\dot {\theta }}^{2}$ 為向心項，方向指向原點。

2. 切向分量中的 $2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}$ 來自徑向變化與轉動的耦合。

自然標架（三維）

令空間曲線以弧長 $s$ 參數化，位置 $\mathbf {r} (s)$。自然（Frenet）標架定義為：

1. 單位切向量：$\mathbf {T} ={\dfrac {d\mathbf {r} }{ds}}.$

2. 單位法向量：$\mathbf {N} ={\dfrac {d\mathbf {T} /ds}{\|d\mathbf {T} /ds\|}}.$

3. 單位副法向量：$\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .$

曲率 $\kappa$ 與撓率 $\tau$ 滿足 Frenet–Serret 方程：

${\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \,\mathbf {N}$

${\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}=-\kappa \,\mathbf {T} +\tau \,\mathbf {B}$

${\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}=-\tau \,\mathbf {N}$

若沿曲線的速率 $v={\dfrac {ds}{dt}}$，則

1. 速度： $\mathbf {v} ={\dfrac {d\mathbf {r} }{dt}}=v\,\mathbf {T} .$

2. 加速度： $\mathbf {a} ={\dfrac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {v}}\,\mathbf {T} +v^{2}\kappa \,\mathbf {N} .$

說明：

1. 切向加速度 ${\dot {v}}$ 改變速率大小。

2. 法向加速度 $v^{2}\kappa$ 決定彎曲程度與指向，沿 $\mathbf {N}$ 指向曲率中心。

3. 撓率 $\tau$ 描述曲線脫離密切平面的扭轉，但不直接出現在加速度分解中。

平面情形下的聯繫與換算

當運動限制在同一平面內，並以極坐標 $(r,\theta )$ 描述時：

1. 速率： $v={\sqrt {{\dot {r}}^{2}+(r{\dot {\theta }})^{2}}}.$

2. 法向加速度與曲率關係： $\mathbf {a} \cdot \mathbf {N} =v^{2}\kappa .$ 實際計算中，常先由極坐標分量得到 $\mathbf {v}$ 與 $\mathbf {a}$，再投影到法向以求 $\kappa$。

典型例子

1. 勻角速度圓周運動：$r=R$ 常數，${\dot {\theta }}=\omega$ 常數。

• 速度：$\mathbf {v} =R\omega \,\mathbf {e} _{\theta }.$
• 加速度：$\mathbf {a} =-R\omega ^{2}\,\mathbf {e} _{r}.$
• 曲率：$\kappa =1/R$；法向加速度：$v^{2}\kappa =(R\omega )^{2}\cdot (1/R)=R\omega ^{2}$，與分量表達一致。

2. 阿基米德螺線：$r=a\theta$。 ${\dot {r}}=a{\dot {\theta }}$，速率 $v={\sqrt {(a{\dot {\theta }})^{2}+(a\theta {\dot {\theta }})^{2}}}=a|{\dot {\theta }}|{\sqrt {1+\theta ^{2}}}.$

將 ${\dot {r}},\,{\ddot {r}},\,{\dot {\theta }},\,{\ddot {\theta }}$ 代入極坐標加速度分量表達式，可分析曲率隨 $\theta$ 的變化趨勢。