經典力學/正則變換與生成函數

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正則變換與生成函數

• 正則變換：從$(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$到$(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )$的映射若保持泊松結構，即$\{Q_{i},Q_{j}\}=0$、$\{P_{i},P_{j}\}=0$、$\{Q_{i},P_{j}\}=\delta _{ij}$，則為正則變換。

• 生成函數類型：常用四類生成函數 $F_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)$，$F_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$，$F_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$，$F_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$。

• 以$F_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$為例：變換關係 $p_{j}={\dfrac {\partial F_{2}}{\partial q_{j}}}$，$Q_{j}={\dfrac {\partial F_{2}}{\partial P_{j}}}$，新哈密頓量 $K=H+{\dfrac {\partial F_{2}}{\partial t}}$。

• 物理用途：通過恰當的生成函數，可將問題化簡、去除時間依賴或轉至可分離坐標。

• 示例：單擺小振動的動作-角近似可通過適配的$F_{2}$實現變量分離（與H-J方法關聯）。

練習

1. 給出一個線性正則變換$Q=\alpha q$、$P=p/\alpha$，構造對應的$F_{2}(q,P)$並驗證泊松結構保持。
2. 對$H={\tfrac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}kq^{2}$，嘗試選擇$F_{2}$使新變量為幅角形式，並說明新$K$的形狀。