經典力學/正則變換與生成函數

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正則變換與生成函數

• 正則變換：從$(𝐪,𝐩)$到$(𝐐,𝐏)$的映射若保持泊松結構，即$\{Q_i,Q_j\}=0$、$\{P_i,P_j\}=0$、$\{Q_i,P_j\}={\delta }_{ij}$，則為正則變換。

• 生成函數類型：常用四類生成函數 $F_1(𝐪,𝐐,t)$，$F_2(𝐪,𝐏,t)$，$F_3(𝐩,𝐐,t)$，$F_4(𝐩,𝐏,t)$。

• 以$F_2(𝐪,𝐏,t)$為例：變換關係 $p_j=\frac{\partial F_2}{\partial q_j}$，$Q_j=\frac{\partial F_2}{\partial P_j}$，新哈密頓量 $K=H+\frac{\partial F_2}{\partial t}$。

• 物理用途：通過恰當的生成函數，可將問題化簡、去除時間依賴或轉至可分離坐標。

• 示例：單擺小振動的動作-角近似可通過適配的$F_2$實現變量分離（與H-J方法關聯）。

練習

1. 給出一個線性正則變換$Q=\alpha q$、$P=p/\alpha$，構造對應的$F_2(q,P)$並驗證泊松結構保持。
2. 對$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{q}^2$，嘗試選擇$F_2$使新變量為幅角形式，並說明新$K$的形狀。