經典力學/相對運動與速度合成

物理學 > 經典力學 > 相對運動與速度合成

經典力學/相對運動與速度合成

相對運動研究不同參考系中對同一運動的描述關係。在經典（非相對論）框架下，速度的合成與伽利略變換一致，核心公式簡單直觀。

參考系與相對位移

設有兩個參考系$S$與$S'$，$S'$相對$S$做平移與可能的轉動。若$S'$原點相對$S$的位置為$\mathbf {R} _{S'S}(t)$，且$S'$相對$S$的旋轉由正交矩陣$\mathbf {Q} (t)$刻畫，則

1. 同一點的坐標關係：$\mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {R} _{S'S}(t)+\mathbf {Q} (t)\,\mathbf {r} _{S'}(t)$。
2. 慣性系之間且無相對轉動時，$\mathbf {Q} =\mathbf {I}$，關係簡化為$\mathbf {r} _{S}=\mathbf {R} _{S'S}+\mathbf {r} _{S'}$。

速度合成（無相對轉動的情形）

當兩個慣性系$S$與$S'$作勻速相對運動，設$S'$相對$S$的速度為常量$\mathbf {V}$，則

1. 速度合成：$\mathbf {v} _{S}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{S'}$。
2. 加速度不變：$\mathbf {a} _{S}=\mathbf {a} _{S'}$。

該結果即伽利略速度合成律，適用於遠小於光速的情形。

含相對轉動的速度關係

若$S'$相對$S$有角速度${\boldsymbol {\Omega }}(t)$，則對同一物理點有更一般的速度關係 $\mathbf {v} _{S}=\mathbf {V} +\mathbf {Q} \,\mathbf {v} _{S'}+{\boldsymbol {\Omega }}\times (\mathbf {Q} \,\mathbf {r} _{S'})$。 其中$\mathbf {V} ={\dot {\mathbf {R} }}_{S'S}$，${\boldsymbol {\Omega }}$由${\dot {\mathbf {Q} }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\times }\,\mathbf {Q}$給出（${\boldsymbol {\Omega }}_{\times }$是用叉乘表示的反對稱矩陣）。

加速度關係與慣性力提示

在有轉動或非勻速平移時，加速度間的關係會出現附加項： $\mathbf {a} _{S}=\mathbf {A} +\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{S'}+2\,{\boldsymbol {\Omega }}\times (\mathbf {Q} \,\mathbf {v} _{S'})+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\big (}{\boldsymbol {\Omega }}\times (\mathbf {Q} \,\mathbf {r} _{S'}){\big )}+{\dot {\boldsymbol {\Omega }}}\times (\mathbf {Q} \,\mathbf {r} _{S'})$， 其中$\mathbf {A} ={\ddot {\mathbf {R} }}_{S'S}$。在$S'$中保持牛頓第二定律形式時，需要引入平動慣性力、科里奧利力、離心力與歐拉力。

常見情景與直覺

1. 跑步追公交: 地面對人的速度 $\mathbf {v} _{\text{地}}$ 等於公交相對地速度 $\mathbf {V} _{\text{车}}$ 加上人相對車廂速度 $\mathbf {v} _{\text{人/车}}$ . $\mathbf {v} _{\text{地}}=\mathbf {V} _{\text{车}}+\mathbf {v} _{\text{人/车}}$ .

2. 船渡河: 河岸系下船速度為 $\mathbf {v} _{\text{船/水}}+\mathbf {v} _{\text{水/岸}}$ . 若要正對岸, 需令 $\mathbf {v} _{\text{船/水}}$ 與水流速度的橫向分量相互抵消.

3. 傳送帶與行走: 地面速度是傳送帶速度與行走速度的矢量和. 反向行走可抵消前進速度, 當合速度為零時, 在地面看來「原地不動」.

速度合成的極限與適用範圍

1. 伽利略合成律適用於$\|\mathbf {v} \|\ll c$。靠近光速時必須使用相對論速度合成。
2. 在工程與日常尺度（交通、河流、風場）中，伽利略合成能給出足夠準確的結果。

與軌跡微分的關係

若軌跡參數為$\mathbf {r} (t)$，不同參考系的速度差別由時間導數在各自坐標下的表達決定；在無轉動的慣性系間，速度差是常量平移$\mathbf {V}$，因此加速度保持不變，動力學方程形式在各慣性系相同。