經典力學/空氣阻力下的拋體運動

物理學 > 經典力學 > 空氣阻力下的拋體運動

空氣阻力下的拋體運動

• 線性阻力（低速）：$\mathbf {F} _{D}=-b\mathbf {v}$。分量方程 $m{\dot {v}}_{x}=-bv_{x}$，$m{\dot {v}}_{y}=-mg-bv_{y}$。

• 解析解（線性）

1. 水平：$v_{x}(t)=v_{x0}e^{-t/\tau }$，$x(t)=v_{x0}\tau (1-e^{-t/\tau })$，$\tau =m/b$。
2. 豎直：$v_{y}(t)=(v_{y0}+g\tau )e^{-t/\tau }-g\tau$，

$y(t)=y_{0}+(v_{y0}+g\tau )\tau (1-e^{-t/\tau })-g\tau t$。

• 二次阻力（高速）：$\mathbf {F} _{D}=-{\tfrac {1}{2}}C_{D}\rho Av\,\mathbf {v}$。一般需數值求解；極限速度 $v_{t}={\sqrt {\dfrac {2mg}{C_{D}\rho A}}}$。

• 軌跡特徵：最佳發射角小於 $45^{\circ }$；水平位移受 $\tau$ 限制趨於飽和；上升段更快衰減。

• 無量綱化：以 $\tau =m/b$、$v_{*}=g\tau$、$\ell _{*}=v_{*}\tau$ 縮放，得到僅含初值參數的無量綱方程，便於不同物體比較。

• 實驗擬合：通過軌跡數據擬合估計 $b$ 或 $C_{D}$，比較線性與二次模型殘差以選型。

練習

1. 已知 $m,b,v_{x0},v_{y0}$，求達到最高點的時間與高度（線性阻力）。
2. 討論二次阻力下「最佳發射角」如何依賴 $C_{D}\rho A/m$（定性）。