經典力學/虛功與拉格朗日乘子

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虛功與拉格朗日乘子

• 虛功原理：允許虛位移下的力學平衡滿足$\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$；動力學中結合達朗貝爾原理得到廣義方程。

• 乘子法處理約束：對完整約束$\phi _{\alpha }(\mathbf {q} ,t)=0$，定義擴展拉格朗日量${\mathcal {L}}=L+\sum _{\alpha }\lambda _{\alpha }\phi _{\alpha }$，並與${\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda _{\alpha }}}=\phi _{\alpha }=0$共同求解。

• 乘子的物理意義：$\lambda _{\alpha }$對應約束反力的廣義分量；可用於求接觸力、張力等。

• 非完整約束的乘子：當約束為不可積的速度約束$\sum a_{j}(\mathbf {q} ,t)\,{\dot {q}}_{j}=0$時，可引入乘子進入變分並給出修正的拉格朗日方程（需謹慎選擇形式）。

• 高斯最小強制原理：給出在滿足約束的加速度集合內，使偏離無約束加速度的二範數最小的真實加速度，常與乘子法等價。

練習

1. 在水平面滾動圓盤，約束$v_{C}=R{\dot {\theta }}$，用乘子法寫出擴展${\mathcal {L}}$並求出約束反力的表達式（符號形式）。
2. 對雙擺的末端固定高度約束，設$\phi (\theta _{1},\theta _{2})=0$，寫出乘子方程並說明$\lambda$對應的物理量。