經典力學/逃逸速度與束縛條件

逃逸速度

逃逸速度常以符號$v_{\rm {e}}$表示，用於描述物體從天體表面出發且不再返回所需的最小初速度。典型推導基於能量守恆：初始機械能等於無窮遠處的機械能。

基本推導

從能量觀點出發，設質量為$m$的粒子在半徑為$r$的中心引力場內運動，引力勢能為$-\,{\dfrac {GMm}{r}}$。若要達到無窮遠且速度趨於零，需滿足：

• 初始動能 + 初始勢能 = 0
• 即：${\tfrac {1}{2}}mv_{\rm {e}}^{2}-{\dfrac {GMm}{r}}=0$
• 由此得到：$v_{\rm {e}}={\sqrt {\dfrac {2GM}{r}}}$

束縛條件

當總機械能小於零時，軌道為束縛軌道（如橢圓）；當總機械能等於零時，為拋物線極限情況；當總機械能大於零時，為雙曲線非束縛軌道。

• 束縛：$E=T+U<0$
• 臨界：$E=0$
• 非束縛：$E>0$

與圓軌道速度的關係

圓軌道速度$v_{\rm {c}}$滿足$v_{\rm {c}}={\sqrt {\dfrac {GM}{r}}}$。因此$v_{\rm {e}}={\sqrt {2}}\,v_{\rm {c}}$。該關係反映了從同一半徑$r$起飛，逃逸需要比保持圓軌道更大的速度因子。

實例

• 地球表面近似取$r$為地球半徑，代入得到的$v_{\rm {e}}$約等於$11.2\ {\text{km/s}}$。
• 月球表面逃逸速度更低，因其質量小、半徑小。

注意事項

• 未計入大氣阻力與天體自轉等修正。
• 非球對稱引力場或非慣性系下需作更精細處理。