綜合數學/實數與集合/實數與集合

實數和集合是數學上最基本的概念。

實數 

在數學中，實數是有理數和無理數的總稱。
有理數就是可以表示成兩個整數的比的數，即可表示成${\frac {p}{q}}$的形式的數，其中$p,q$均為整數且$q\not =0$。明顯，有理數就是整數（可以表示成${\frac {na}{n}}$的形式，其中$a,n$皆為整數且$n\not =0$）和分數[包含一切有限小數及無限循環小數（下節證明）]的總稱。實數又可以分為正數、零和負數。正數就是大於零的實數，負數就是小於零的實數。
無理數就是除有理數之外的實數，即不能表示成兩整數之比的數。
所有實數的集合則可稱為實數系或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保守同構意義下它是唯一的，常用$\mathbb {R}$表示。

數軸

在數學中，可以用一條直線上的點表示數，這條直線就叫做數軸。如圖，數軸上表示數字0的點叫做數軸的原點，通常用$O$表示；一般規定，原點的右側（或上）為正方向，應標有箭頭，原點的左側（或下）為負方向；一般選取1為單位長度。

數軸

實數與數軸上的點是一一對應的，這就是實數的幾何意義。為簡便起見，通常用同一個字母或數既表示某個實數又表示實數在數軸上對應的點。
數軸上表示有理數的點叫有理點，表示無理數的點叫作無理點。在任意兩個不同的有理點之間一定存在無窮個有理點，同樣的，任意兩個不同的無理點之間也一定存在無窮多個無理點，這就叫做有理點（數）和無理點（數）的稠密性。
任何不同的兩個實數都可以比較大小。在數軸上，右邊的數總大於左邊的數。

實數的絕對值

設$a$為一個實數，定義

$|a|:=\left\{{\begin{matrix}a,&a\geqslant 0\\-a,&a<0\end{matrix}}\right.$

為數$a$的絕對值。明顯，互為相反數的兩個數絕對值相等。
它的幾何意義表示點$a$與原點$O$在數軸上的距離。
由定義，若$a,b$為兩個實數，則

$|a-b|=\left\{{\begin{matrix}a-b,&a\geqslant b\\b-a,&a<b\end{matrix}}\right.$

它的幾何意義表示點$a$與點$b$在數軸上的距離。
絕對值有下列基本性質：

(1)  $|a|\geqslant 0,|a|=|-a|,|a|={\sqrt {a^{2}}}$；

(2)  $-|a|\leqslant a\leqslant |a|$；

(3)  $|a|\leqslant k\Leftrightarrow -k\leqslant a\leqslant k$（$k\geqslant 0$）；

(4)  $\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right|\leqslant \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|$；

(5)  $||a|-|b||\leqslant |a-b|$；

(6)  $\left|\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right|=\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|$；

(7)  $\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}$（$b\not =0$）。

證 性質(1)(2)(3)證明略；
(4) 由性質(2)可知

$-|a_{i}|\leqslant a_{i}\leqslant |a_{i}|,i=1,2,\cdots ,n$，

則

$-\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}\leqslant \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|$，

令$k=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|$，則由性質(3)有

$\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right|\leqslant \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|$；

(5)  由性質(4)有

$|a|=|(a-b)+b|\leqslant |a-b|+|b|$，

即有

$|a|-|b|\leqslant |a-b|$，

類似地有

$|b|-|a|\leqslant |b-a|=|a-b|$，

於是

$||a|-|b||\leqslant |a-b|$；

性質(6)(7)證明略。$\blacksquare$

例1.1.1

解不等式$|x+3|<|x-1|$
解  由絕對值幾何意義可知，待解不等式表示：點$x$與點-3的距離小於點$x$與點1的距離。因此，直接在數軸上觀察可知，待解不等式的解為

$x<-1$。

或用區間的方式表示為

$x\in (-\infty ,-1)$。

集合

集合是數學中一個基本概念，現今被普遍接受的集合論是策梅洛-弗蘭克爾（Zermelo-Fraenkel）集合論，包括選擇公理，簡稱ZFC。
一般地，我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的整體叫做集合，簡稱集。通常，我們用大寫字母$A,B,C\cdots$表示集合，用小寫字母$a,b,c\cdots$表示集合中的元素。如果$a$ 是集合$A$ 的元素，我們就稱$a$ 屬於集合$A$，記作$a\in A$；反之，則稱$a$ 不屬於集合$A$，記作$a\not \in A$。

一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那麼就稱這個集合為全集（通常情況下，也把給定的集合稱為全集），通常記作$U$。

集合的表示

集合一般有兩種表示法：列舉法和描述法。

列舉法

顧名思義，列舉法就是一個一個將集合中的元素列舉出來，再用「$\{\}$」將元素括起來表示集合，元素與元數之間應用「$,$」隔開。當元素個數過多時，可在將元素規律表示出來後用「$\cdots$」省略後續元素。

例1.1.2

用列舉法表示集合$A=$「不大於20的正奇數」，$B=$「大於或等於10的偶數」。
解 這裡集合$A$是一個有限集合，元素較少，可以完全列舉；但集合$B$是一個無窮集合，只能用省略號省去部分元素。
故

${\begin{alignedat}{2}&A=\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\},\\&B=\{10,12,14,16,\cdots \}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

描述法

描述法是表示一個集合最常用的方法。設$P(x)$為某個與$x$有關的條件或法則，$X$為滿足$P(x)$的全體$x$構成的集合，則記$X$為

$X=\{x|P(x)\}$。

相應地，設$P(x,y)$為某個與$x,y$有關的條件或法則，$A$為滿足$P(x,y)$的全體有序數對$(x,y)$構成的集合，則記$A$為

$A=\{(x,y)|P(x,y)\}$。以此類推。

例1.1.3

用描述法表示例1.1.2中的集合。
解 依題意，用描述法表示集合，則

${\begin{alignedat}{2}&A=\{x|x=2n+1,0\leq n\leq 9,n\in \mathbb {Z} \},\\&B=\{x|x=2n,n\geq 5,n\in \mathbb {Z} \}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

答案不唯一。

集合的分類

集合有許多種，在數學上可以將集合按元素的個數分為無限集、有限集和空集。

數集和點集

顧名思義，數集就是數構成的集合，點集就是點構成的集合。我們見的最多的集合就是數集。數學中有一些特殊數集：

$\mathbb {N}$：自然數集；

$\mathbb {Z}$：整數集；

$\mathbb {Q}$：有理數集；

$\mathbb {R}$：實數集；

$\mathbb {C}$：複數集；

$\mathbb {H}$：四元數集；

$\mathbb {O}$：八元數集；

$\mathbb {S}$：十六元數集；

上述集合存在關係$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} \subseteq \mathbb {H} \subseteq \mathbb {O} \subseteq \mathbb {S}$。還有幾個特殊的數集：

$\mathbb {P}$：素數集；

$\mathbb {A}$：代數數集。

上述數集是非完備的。

無限集、有限集和空集

令$\mathbb {N} ^{*}$是正整數的全體，且$N_{n}=\{1,2,3,\cdots ,n\}$,如果存在一個正整數$n$，使得集合$A$與$N_{n}$一一對應，那麼我們稱集合A為有限集。同時定義，不含任何元素的集合稱作空集，記作$\varnothing$。空集是特殊的有限集（有時不將空集看作有限集），且空集是否是點集或數集是任意的。相反地，有限集之外的集合我們叫作無限集。

例1.1.4

判斷下列集合是什麼集合

(1)$A=\left\{x|0\leqslant x\leq 10\right\}$；

(2)$B=\left\{x|x\in \mathbb {Z} ,x^{2}\leqslant 0\right\}$；

(3)$C=\left\{x|x\in \mathbb {N} ,x<-3\right\}$；

(4)$D=\left\{\left(x,y\right)|x\geqslant y\right\}$；

解 (1)依題意，集合$A=$「大於等於0、小於等於10的（實）數」，明顯，集合$A$是無限數集；
(2)由於實數範圍內滿足$x^{2}\leq 0$的數只有0，且$0\in \mathbb {Z}$，故集合$B=\left\{0\right\}$為有限數集；
(3)明顯，自然數集內沒有小於-3的數，則$C=\varnothing$，為空集；
(4)由於集合滿足$x\geqslant y$的點有無數個，故集合$D$為一無限點集。

集合的性質

集合有確定性、互異性和無序性三個性質。

確定性

給定一個集合，則哪些元素在這個集合中，哪些元素不在都應是確定的。例如「我們班個子高的學生」就不是一個集合，因為多高才叫「高個子」是不確定的，不滿足集合的確定性；而「我們班身高高於170 cm的學生」是一個集合。或說，任意給定一個元素$a$，則它是否屬於集合$A$是確定的。

互異性

集合中任意兩個元素都是不同的對象。如$\{1,1,2\}$不是一個集合，而$\{1,2\}$才是一個集合（有時也將含有幾個相同的元素的集合視為集合，並將幾個相同元素視為一個元素）。互異性使集合中的元素是沒有重複，即使兩個相同的對象在同一個集合中，也只能算作這個集合的一個元素。

無序性

集合中的元素排列是沒有順序的。例如，集合$\{1,3,2\}=\{1,2,3\}$。

以上就是集合的三個性質。

集合間的基本關係 

子集

一般地，對於兩個集合$A,B$，如果集合$A$中的任何一種元素都是集合$B$的元素，我們則稱集合$A$是集合$B$的子集，記作

$A\subseteq B$（或$B\supseteq A$）

讀作「$A$包含於$B$」（或「$B$包含$A$」）。同時，如果有兩個集合$A,B$滿足$A\subseteq B$且$B\subseteq A$，我們則稱這兩個集合相等，記作

$A=B$。

外延公理是ZFC的公理之一，其可描述為

$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y]$，

其實質是：兩個含有相同元素的集合相等。
若對於兩個集合$A,B$，有

$A\subseteq B$但$A\neq B$

我們則稱集合$A$是集合$B$的真子集，記作

$A\subsetneq B$（或$B\supsetneq A$）

讀作「$A$真包含於$B$」（或「$B$真包含$A$」）。 由上述定義我們可以得到（子集的性質）：

1. 空集是任何集合的子集；

2. 任何集合都是它本身的子集，即

$A\subseteq A$；

3. （集合的傳遞性）如果集合

$A\subseteq B,B\subseteq C$，

則

$A\subseteq C$；

更一般地，我們有：

若

$A_{1}\subseteq A_{2},A_{2}\subseteq A_{3},\cdots ,A_{n-1}\subseteq A_{n},$

則

$A_{1}\subseteq A_{n}$；

4.  若集合$A$中有$n$個元素，則$A$的子集共有$2^{n}$，真子集有$2^{n-1}$個。

集合的相等和真子集均滿足上述性質。證明略。

例1.1.5

列舉出集合

$A=\{1,2,3\}$

的全部子集。
解 集合$A$的全部子集有：

$\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}$

冪集

在數學上，給定集合$S$，則定義

$\mathrm {P} (S):=\{U|U\subseteq S\}$

為集合$S$的冪集。若$|S|=n$，則$|\mathrm {P} (S)|=2^{n}$。
其中$\mathrm {P} (S)$的任一子集$F$稱作$S$上的集族。
冪集公理是ZFC公理之一，其描述為

$\forall S\exists \mathrm {P} (S)\forall x:x\in \mathrm {P} (S)\Leftrightarrow (\forall y:y\in x\Rightarrow y\in S)$，

其本質為所有集合都有一個冪集。

區間與鄰域

集合論中常用的實數集合為區間與鄰域。
設$a,b\in \mathbb {R}$且$a<b$，我們定義：

(1)閉區間：$[\,a,b\,]:=\{x|a\leqslant x\leqslant b\}$；

(2)開區間：$(a,b):=\{x|a<x<b\}$；

(3)半開區間：

(3.1)左開區間：$(a,b\,]:=\{x|a<x\leqslant b\}$；

(3.2)右開區間：$[\,a,b):=\{x|a\leqslant x<b\}$；

(4)無窮區間：

(4.1) $(-\infty ,b\,]:=\{x|x\leqslant b\}$；

(4.2) $(-\infty ,b):=\{x|x<b\}$；

(4.3) $[\,a,+\infty ):=\{x|x\geqslant a\}$；

(4.4) $(a,+\infty ):=\{x|x>a\}$；

(4.5)  $(+\infty ,-\infty ):=\mathbb {R}$。

通常，我們將上述四類區間統稱為區間。其中(1)-(3)我們稱為有限區間，$a,b$分別稱為區間的左端點、右端點。
設$\varepsilon$為某個正數，則稱開區間$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )$為點$x_{0}$的$\varepsilon$鄰域；稱$x_{0}$為鄰域的中心，$\varepsilon$為鄰域的半徑。
點$x_{0}$的鄰域去掉中心$x_{0}$後的集合

$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\varepsilon )$

稱為點$x_{0}$的空心鄰域或去心鄰域；稱開區間$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0})$為點$x_{0}$的左鄰域，$(x_{0},x_{0}+\varepsilon )$為點$x_{0}$的右鄰域。
點$x_{0}$的鄰域可表示為不等式

$|x-x_{0}|<\varepsilon$；

點$x_{0}$的空心鄰域可表示為不等式

$0<|x-x_{0}|<\varepsilon$。