重複積分的柯西公式

重複積分的柯西公式不同於複變函數中的柯西積分公式，重複積分的柯西公式可以將對一個函數的重複積分轉換為對另一個函數的單一積分。

重複積分指的是對於一個函數反覆進行多次迭代的積分，即定義為以下的過程：

重複積分 $I^{(n)} f (x) = I^{(n)} (x)$

$I^{(0)} (x) = f (x)$

$I^{(1)} (x) = \int^{x} f (t) d t$

$I^{(2)} (x) = \int^{x} \int^{t_{1}} f (t_{2}) d t_{2} d t_{1}$

$I^{(n)} (x) = \int^{x} \int^{t_{1}} \int^{t_{2}} \dots \int^{t_{n - 1}} f (t_{n - 1}) d t_{n - 1} d t_{n - 2} \dots d t$ (1)

$I^{(n)} (x) = \int^{x} I^{(n - 1)} (t) d t$ (2)

(1)就是重複積分的一般表達式；

(2)式是遞推式；

簡單來說I(n)f(x)就是對f(x)求n次積分。

$I^{(n)} f (x) = \frac{1}{(n - 1)!} \int^{x} (x - t)^{n - 1} f (t) d t$