電漿物理學/習題集與解答

說明

• 本章提供綜合習題與簡要解答提要，覆蓋MHD、動理學、ICF、湍流與數值方法。解答不展開繁瑣代數，強調關鍵步驟與結論，便於教學使用。

題目A：Alfvén 波色散

• 已知理想MHD 均勻等離子體，推導Alfvén 波色散關係並給出群速度方向。
• 解答提要：線性化、去除壓縮項，得 $\omega =\pm k_{\parallel }v_{A}$，群速度沿背景磁場方向。

題目B：Sweet–Parker 厚度

• 在長度 $L$、Alfvén 速度 $v_{A}$、電阻率 $\eta$ 條件下，求擴散層厚度與重聯率。
• 解答提要：質量與歐姆平衡，得 $\delta \sim L/{\sqrt {S}}$，$R\sim v_{A}/{\sqrt {S}}$。

題目C：SRS 匹配

• 寫出SRS 的頻率與波矢匹配，並說明後向與側向情形差異。
• 解答提要：$\omega _{0}=\omega _{s}+\omega _{pe}$，$\mathbf {k} _{0}=\mathbf {k} _{s}+\mathbf {k} _{L}$；後向散射 $\mathbf {k} _{s}\approx -\mathbf {k} _{0}$。

題目D：Greenwald 限制討論

• 說明經驗密度限制對操作窗口的意義，並指出兩個可能的物理來源。
• 解答提要：邊界輻射與MHD 不穩定導致約束惡化；操作需控制燃料與雜質。

題目E：GS95 臨界平衡

• 證明在能量注入率常數下，$k_{\parallel }\propto k_{\perp }^{2/3}$。
• 解答提要：令非線性時間與Alfvén 時間匹配，結合Kolmogorov 通量恆定。

題目F：PIC 粒子推進器

• 說明Boris 推進器為何能量近守恆且相位穩定。
• 解答提要：分步旋轉與漂移組成的辛近似，避免數值能量漂移。

題目G：能量原理判據

• 給定柱坐標平衡，寫出 $\delta ^{2}W$ 的負性條件並解釋物理意義。
• 解答提要：若存在位移場使磁張力不足以抵消壓力梯度，系統不穩定。

題目H：ICF 點火閾值

• 說明達到點火所需的面密度與溫度範圍，列舉兩類主要不穩定性。
• 解答提要：$\rho R\sim \mathrm {g/cm^{2}}$ 級；RT 與SRS/SBS。

題目I：AMR 細化策略

• 設計基於電流密度與渦量的細化指標以解析重聯層。
• 解答提要：閾值細化 $|\mathbf {J} |$ 與 $|\nabla \times \mathbf {u} |$，保證跨層通量一致。

題目J：NLS 調製不穩定性

• 判斷給定參數下平面波是否不穩定並給出增長率表達式。
• 解答提要：當 $\alpha \beta >0$ 時不穩定，增長率與側帶波數相關。

題目K：輻射帶波粒相互作用

• 解釋諧波共振條件並對俘獲/散逸給出定性圖像。
• 解答提要：$\omega -k_{\parallel }v_{\parallel }=n\Omega$ 共振；相位陷阱導致擴散或加速。

題目L：非理想MHD 電場

• 寫出廣義歐姆定律並指出各項主導尺度。
• 解答提要：$\mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} =\eta \mathbf {J} +{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {B} }{ne}}-{\frac {\nabla p_{e}}{ne}}+{\frac {m_{e}}{ne^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}$；分別在電阻、離子與電子尺度主導。

使用建議

• 教學可選A–F 作為基礎，G–L 作為進階加分題。