電漿物理學/等離子體數值模擬方法

導論

• 本章綜述從MHD 到動理學的多尺度數值方法，包括顯隱式時間推進、保結構算法與多物理耦合。
• 目標：理解離散化策略、穩定性條件與誤差控制。

守恆律形式

• 一般雙曲型系統：${\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {U} )=\mathbf {S} (\mathbf {U} )$
• 保守離散保證全局量守恆

空間離散

• 有限體積方法（FV）通過通量計算實現守恆
• Riemann 求解器（HLL、HLLC、Roe）用於捕捉激波與接觸不連續

時間推進

• 顯式Runge–Kutta 受CFL 條件限制
• 隱式方法放寬步長但需解大型稀疏線性系統

高階與限制器

• MUSCL、WENO 與DG 提供高階精度
• 限制器防止振盪，保持單調性與物理性

磁場散度約束

• MHD 需滿足 $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
• 約束輸運（CT）與散度清除（GLM）技術維持數值無散性

多物理耦合

• 輻射MHD、熱傳導、化學與碰撞項通過算子分裂耦合
• 需要穩定的源項處理與隱式耦合

自適應網格細化AMR

• 動態分辨激波、重聯層與薄鞘
• 保證細化/粗化間的通量一致性與時間同步

誤差評估與驗證

• 製造解法（MMS）與解析基準測試精度
• 收斂性研究與網格獨立性分析

並行計算

• MPI 分域與負載均衡
• GPU 加速適用於通量計算與碰撞算子

常見誤區

• 忽略 $\nabla \cdot \mathbf {B}$ 約束導致非物理力
• 在強源項耦合下誤用顯式分裂引發不穩定
• 高階方法未配套限制器導致偽振盪

小練習

1. 寫出保守型雙曲系統的一般形式
2. 對比HLL 與Roe Riemann 求解器的差異
3. 解釋CT 與GLM 在維持無散性上的作用
4. 設計一個AMR 策略捕捉重聯薄層
5. 說明MMS 如何用於代碼驗證