高中數學（版聊式）/第1節 概率與隨機性

隨機性、頻率與概率

在日常生活中，我們會經常遇到一些無法準確預測的事件。最典型的例子就是拋硬幣，一般情況下，我們並沒有辦法準確預測拋出的硬幣掉落以後是正面朝上還是反面朝上；擲色子也是一個類似的例子，一般而言我們無法預測擲色子的結果。此外，在物理學的實驗當中會經常遇到這樣的情形：在對某個物理量進行測量時，由於各種不確定因素的影響，得到的測量值並非就是準確的真值，而測量值相對於真值的偏離顯然也是無法準確預測的；更重要的是，絕大多數情形下我們是沒有辦法完全排除各種不確定因素對測量的影響的，例如物理學理論證明，當環境溫度大於絕對零度時，即使採用完全理想的電壓表測量某個電阻上的電壓，其測量值也會圍繞着真值上下波動。以上這些例子都說明，我們應當建立一套數學理論，這個理論能夠對這些不確定的事件進行定量描述，從而發現其中的內在規律。

需要注意的是，以上給出的各種不確定事件，並非完全沒有規律可循。例如，雖然我們無法準確預測某一次拋硬幣的結果，但我們知道，隨着拋硬幣次數的增大，出現正面朝上的次數與總的拋擲次數的比值將越來越接近0.5。又如，對於擲色子的情形，若色子是均勻對稱的，則當投擲次數非常大時，每種可能結果出現的次數均約占總次數的1/6。而對於物理量測量的情形，我們知道可以通過多次重複實驗後取平均來使得測量值儘量接近真值，一般來說實驗次數越多，則測量平均值越接近真值。以上的例子說明，這些不確定事件具有某種規律，這種規律在試驗的重複次數非常大時能夠得以體現，我們稱這種規律為統計規律。而概率論就是可以用來研究具有統計規律的隨機事件的一種數學理論。

概率論的核心概念之一就是「概率」。粗略地說，概率反映了某個隨機事件發生的可能性的大小，但更進一步的精確的定義則比較困難。直觀上，由於我們研究的是具有統計規律的事件，因此似乎可以用多次重複試驗當中某個特定事件發生的頻率來衡量這個事件發生的可能性大小；換句話說，對於某個事件A，我們重複進行N次試驗，統計其中事件A出現的次數N_A，則當N足夠大時，頻率

$f(A)={\frac {N_{A}}{N}}$

應當可以用來作為事件A的可能性的定量描述。但這樣做有一個明顯的問題：對於任意有限的N，頻率f(A)一般而言都不會是一個確定的量，而儘管N越來越大時f(A)會變得越來越平穩，但目前而言我們沒有辦法保證N趨向無窮大時f(A)存在一個確定的極限。這說明，概率雖然與頻率有着很緊密的關係，但將概率完全作為頻率的衍生概念是會產生困難的。

為了克服這個困難，我們不妨換一種思路：我們先不賦予概率以「頻率的極限」的解釋，而是先把它作為一個抽象的概念進行處理。同時，我們讓概率具有頻率的某些性質，以使得概率這個抽象概念具有一定的直觀性。在此基礎上我們建立概率的理論，而後反過來將它應用到具有統計規律的隨機事件的研究上。這樣做的好處有二，一是可以避免「頻率的極限」所產生的困難，二是由此得到的概率理論作為一個抽象的理論，不僅可以用來研究具有統計規律的隨機事件，還有可能用在其它不確定事件的研究上 。

樣本空間與事件

從本節開始，我們對高中階段所涉及的概率論進行較為詳細的介紹。

上一節提到過，概率論是用來研究隨機事件的理論。具體而言，假設我們進行一次隨機試驗 ，這個試驗的結果我們沒有辦法進行準確預測，但我們知道該試驗所有的可能結果。例如，對於拋硬幣，若不考慮極端的硬幣立在桌子上的情況，則一次拋硬幣試驗的可能結果總共有兩種：正面朝上、反面朝上。我們將該隨機試驗的所有可能結果組成一個集合，稱之為「樣本空間」，一般用Ω表示，而樣本空間當中的點被稱為「樣本點」，一般用ω表示。

• 例：對於單次拋硬幣試驗，用字母H表示正面朝上，用字母T表示反面朝上，則樣本空間為$\Omega =\{\mathrm {H} ,\mathrm {T} \}$。

• 例：考慮一隻用打字機打字的猴子，打字機上只有26個大寫字母，則它打出的第一個字母總共有26種可能，相應的樣本空間為$\Omega =\{{\textrm {A}},{\textrm {B}},\ldots ,{\textrm {Z}}\}$。

• 例：某個固定的轉盤上有一個可以任意轉動的指針，並刻有一條半徑。轉動指針，則經過一段時間後指針將停在轉盤上某處。用指針與刻下的半徑之間的轉角（逆時針為正）來表徵各種可能結果，則樣本空間為$\Omega =[0,2\pi )$。

• 例：一個浮在無限大液面上的花粉做無規則運動。假設我們在液面上建立二維直角坐標系，而花粉初始時（即t=0時）位於坐標系的原點。考慮t=T時花粉的位置，若用花粉的坐標來表徵t=T時花粉的位置，則樣本空間為$\Omega =\{(x,y)|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}$

除了單次的隨機試驗，我們還可以將多個（相同或不同的）隨機試驗組合起來看成一次大的隨機試驗，而將各個小隨機試驗的可能結果排成有序列，作為大隨機試驗的可能結果，由此則可以得到大隨機試驗的樣本空間Ω。

• 例：考慮拋兩次硬幣這個試驗，同樣用字母H表示正面朝上，用字母T表示反面朝上，則該試驗的樣本空間可以寫成$\Omega =\{(\mathrm {H} ,\mathrm {H} ),(\mathrm {H} ,\mathrm {T} ),(\mathrm {T} ,\mathrm {H} ),(\mathrm {T} ,\mathrm {T} )\}$，其中Ω的各個元素具有如下含義：

$\omega$	含義
$(\mathrm {H} ,\mathrm {H} )$	第一次拋出正面，第二次也拋出正面
$(\mathrm {H} ,\mathrm {T} )$	第一次拋出正面，第二次拋出反面
$(\mathrm {T} ,\mathrm {H} )$	第一次拋出反面，第二次拋出正面
$(\mathrm {T} ,\mathrm {T} )$	第一次拋出反面，第二次也拋出反面

• 例：考慮這樣一個試驗：首先拋出一枚硬幣，若正面朝上則再擲一次色子，若反面朝上則再接連擲兩次色子。則該試驗的樣本空間可以寫成

$\Omega =\{(\mathrm {H} ,1),\ldots ,(\mathrm {H} ,6),(\mathrm {T} ,1,1),(\mathrm {T} ,1,2),\ldots ,(\mathrm {T} ,6,6)\}$。

在有了樣本空間的概念以後，我們即可定義「事件」這一概念。概率論當中的「事件」，實際上就是指樣本空間Ω的一個子集。若某次隨機試驗獲得的結果ω屬於Ω的某個子集A，我們就說在這次隨機試驗中發生了事件A。

• 例：顯然，樣本空間Ω本身就是一個事件，無論隨機試驗的結果如何，事件Ω總是發生的。我們稱Ω為「必然事件」。
• 例：另一方面，空集∅也是一個事件，只不過無論隨機試驗的結果如何，事件∅總是不會發生的。我們稱∅為「不可能事件」。

以上兩個例子雖然很平凡，卻是後面對概率的性質進行分析的基礎。下面再給出兩個例子。

• 例：考慮拋兩次硬幣這一試驗，則集合$A=\{(\mathrm {H} ,\mathrm {H} ),(\mathrm {H} ,\mathrm {T} ),(\mathrm {T} ,\mathrm {H} )\}$表示「兩枚硬幣中至少有一枚正面朝上」這一事件。
• 例：我們從區間[0,1]上隨機取出一個數，則樣本空間即為$\Omega =[0,1]$，而集合$A=[0,1/3]$則表示「取出的數小於等於1/3」這一事件。

由於事件本身是集合，因此可以將集合論當中的一些概念與運算移植到事件上。例如

• 若對於事件A與事件B，有A⊆B，則由集合包含關係的意義可知，當事件A發生時事件B必定發生。
• 若已知事件A與事件B，定義事件C=A∪B，則由集合併運算的意義可知，事件C發生當且僅當事件A發生或事件B發生（此處的「或」包含二者都發生的情形）。
• 若已知事件A與事件B，定義事件C=A∩B，則由集合交運算的意義可知，事件C發生當且僅當事件A與事件B同時發生。若A∩B=∅（即不可能事件），我們稱A與B為互斥事件，此時A與B不可能同時發生。
• 若已知事件A，定義事件B為A相對於Ω的補集，即$B=\{\omega \in \Omega |\omega \notin A\}$，則由補集的意義可知，對於任意一次隨機試驗，必定有事件A或事件B其中之一發生，且事件A與事件B不可能同時發生。我們稱事件A與事件B為對立事件，此時A∪B=Ω為必然事件，而A∩B=∅為不可能事件。

概率的意義與概率模型

概率論的基本問題之一，便是研究隨機事件發生的可能性，而概率便是用來定量描述事件可能性的數學概念。顯然，對於每一個事件，都應當有一個概率值與之對應，因此，概率實際上可以看成一個映射，它將任意一個事件映射為某一實數，我們用符號P來代表這個映射，則P(A)即代表事件A發生的概率。

但並非任意一個將事件映為實數的映射都可以作為概率。前面提到過，雖然概率本質上是一個抽象的概念，但我們希望它能具有頻率的某些性質，從而能夠與現實世界中的隨機現象建立某種直觀上的聯繫。根據頻率的意義，不難證明它具有如下性質：

1. 對任意事件A，其發生的頻率必定大於等於0。這是因為頻數N_A總是非負的。
2. 必然事件發生的頻率等於1。這是因為必然事件的頻數就等於總的試驗次數。
3. 若事件A與事件B不可能同時發生，則事件A與事件B至少有一個發生的頻率，等於事件A發生的頻率加上事件B發生的頻率。

我們希望概率也能夠滿足與上述三條相類似的性質。將以上論述進行總結，可得：

• 概率P是將任一事件映為某一實數的一個映射，且具有如下性質：
  1. 對任意事件A，有$P(A)\geq 0$；
  2. $P(\Omega )=1$；
  3. 對任意兩個互斥事件A與B，有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$。

下面我們通過拋硬幣的例子來進一步理解概率的意義。

• 例：考慮拋硬幣這一隨機試驗。我們按如下方式給定概率P：

事件$A$	$P(A)$
$\emptyset$	$0$
$\{\mathrm {H} \}$	$1/2$
$\{\mathrm {T} \}$	$1/2$
$\{\mathrm {H} ,\mathrm {T} \}=\Omega$	$1$

不難驗證，按以上方式給定的概率P滿足前面所說的三條性質。顯然，以上概率對應於拋擲一均勻硬幣這一隨機事件。

• 例：還是考慮拋硬幣這一隨機試驗，只不過這次我們按如下方式給定概率P：

事件$A$	$P(A)$
$\emptyset$	$0$
$\{\mathrm {H} \}$	$p$
$\{\mathrm {T} \}$	$1-p$
$\{\mathrm {H} ,\mathrm {T} \}=\Omega$	$1$

其中$p\in (0,1)$且$p\neq 1/2$。可以看出，它同樣滿足概率的三條性質，但顯然它並不能用來分析拋擲均勻硬幣這一隨機試驗。實際上，它可以用來分析拋擲某種非均勻硬幣。由此也可看出，在給定概率空間Ω以後，相應的概率P並不是唯一的。