高中數學（重製版）/集合論

集合是近代數學最基本的概念。本章首先介紹集合論的公理系統。不過這個系統近來已被證明是不完備的，所以對這裡所採取的出發點做了必要的說明。其次介紹集合論本身的主要內容——序數與基數理論。

集合

集合的定義

樸素集合論

一些事物的全體叫做一個集合，這些事物中的每一個，都稱為這個集合的元素。如果某種事物只有一個，這個事物記作$a$，那麼稱這種事物的全體是集合$\{a\}$，$a$是$\{a\}$的唯一元素。如果某種事物不存在，就稱這種事物的全體是空集。規定任何空集都是同一個集合，記作$\varnothing$。任何事物都不是$\varnothing$的元素。每一個集合都是一個事物。

假定$a$是集合$A$的元素，記作$a\in A$或$A\ni a$，「$\in$」讀作「屬於」，「$\ni$」讀作「包含」。假定$a$不是$A$的元素，記作$a\notin A$或$A\not \ni a$，「$\notin$」讀作「不屬於」，「$\not \ni$」讀作「不包含」。

$\{a\}$和$a$一般是不同的概念，比如$\{\varnothing \}$有一個唯一的元素$\varnothing$，但是$\varnothing$沒有元素。$\in$和$\notin$在邏輯上是彼此相否定（非）的，換句話說，假定$a$是一個事物，$A$是一個集合，那麼$a\in A$和$a\notin A$不能都成立，也不能都不成立。假定$A$和$B$都是集合，如果任何一個事物屬於$A$也一定屬於$B$，屬於$B$也一定屬於$A$，那麼$A$和$B$是同一個集合，或稱兩個集合$A$和$B$相等，記作$A=B$。

假定有一些事物，全部寫出來是$a,b,c,\cdots$，那麼由定義，它們的全體是一個集合，這個集合可以記成$\{a,b,c,\cdots \}$。元素符號的次序和重複都無關實質，比如$\{a,b\}=\{b,a\}=\{a,b,a\}$。由定義，$\varnothing$是一個集合，而集合是一個事物，所以下列的事物都是集合：$\{\varnothing \}$，$\{\{\varnothing \},\varnothing \}$，$\{\{\{\{\varnothing \}\},\{\varnothing \}\},\{\varnothing \}\}$，又例如，零和正整數可以定義如下：$0=\varnothing$，$1=\{0\}=\{\varnothing \}$，$2=\{0,1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$，$3=\{0,1,2\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}$，$4=\{0,1,2,3\}$，$\cdots \cdots \cdots \cdots$。

族是集合的同義詞。在某些情況，比如一個集合$a$的元素都是集合的時候，為了避免混淆，也把$a$叫做一個族或者一個集族。雖然在現代集合論模型中，任何一個集合的元素都是集合（因為不考慮非集合的「事物」），但是有時使用「族」這個稱呼可以表達得更清楚。族有時也當量詞用。例如把屬於一個集族的全部集合說成「一族集」。

羅素悖論

上面已經用例子說明怎樣用列舉元素的辦法來表示一個集合。但是當一個集合的全部元素無法列舉的時候，這個集合應該怎樣表示呢？在集合論發展的初期，流行的習慣是把一個集合說成是「所有滿足某條件的事物的全體」。如果把「某個事物$x$滿足某條件」這句話表示成一個邏輯公式$p(x)$，那麼按照所說的這種習慣表示法，一個集合可以記成$\{x\mid p(x)\}$或$\{x:p(x)\}$（所有使$p(x)$成立的$x$的全體）。一般往往認為只要所說的條件是明確的，也就是對任何$x$，$p(x)$和$\lnot p(x)$（非$p(x)$，就是$p(x)$的否定）有一個且只有一個成立，那麼這種表示法是沒有問題的。可是實際上並不如此。下面舉著名的羅素悖論當例子：

設$z=\{x\mid x\notin x\}$。如果$z$是集合，那麼$z$也是事物，因此$z\in z$和$z\notin z$不能都成立。假定$z\in z$，那麼$z$應該滿足所說的條件$x\notin x$，因此$z\notin z$，自相矛盾。假定$z\notin z$，那麼$z$已經滿足所說的條件$x\notin x$，因此$z\in z$，又自相矛盾。這就叫羅素（Russell）悖論。

根據「$\in$和$\notin$在邏輯上是彼此相否定（非）的，換句話說，假定$a$是一個事物，$A$是一個集合，那麼$a\in A$和$a\notin A$不能都成立，也不能都不成立。」，$a$不是集合。因此羅素悖論實際上是錯誤地假設「$a$是集合」引起的。除了這個形式邏輯上的理由外，由羅素悖論還可作更深入的解釋，但是有個根本的問題不好解決，既然$a$不是集合，那麼別的$a$可以算作集合嗎？

為了回答這個問題，集合的概念必須進一步精密化，因此下面介紹公理系統。

ZFC公理系統與NBG公理系統

目前集合論公理系統有兩種形式，一種是策梅洛-弗蘭克爾（Zermelo-Fraenkel）形式，簡稱ZFC；另一種是馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾（von Neumann–Bernays–Gödel）形式，簡稱NBG。這裡採用ZFC公理系統。

ZFC包括九個公理（有三個顯然包含在前面集合的定義和定義的注釋中），它們是

外延公理：假定$A$和$B$都是集合，如果任何一個事物屬於$A$也一定屬於$B$，屬於$B$也一定屬於$A$，那麼$A$和$B$是同一個集合，或稱兩個集合$A$和$B$相等，記作$A=B$。

空集公理：存在一個不包含任何元素的集合。

配對公理：對任何事物$x$和$y$，存在一個集合$\{x,y\}$，$\{x,y\}$的僅有元素是$x$和$y$。

正則公理：任何一個不空的集合$A$一定包含一個元素$a$，$A$的任何一個元素都不是$a$的元素。

由正則公理可以知道，對任何集合$a$來說，$a$和$\{a\}$是不同的。這是因為如果$a=\{a\}$，那麼$\{a\}$就不符合正則公理。

ZFC的其餘五個公理是替代公理，冪集公理，併集公理，無窮公理，選擇公理。它們分別在各有關節里詳細說明。總的來說，這些公理用比較精密的形式規定了集合有哪些。但這個公理系統不能證明自己不矛盾，同時它也沒有把集合論所必需的所有集合都規定在內。因此這個系統未能成功地取代樸素集合論。後面將採用如下的出發點：假設這五個公理所規定的集合是符合前面樸素集合論和定義的注釋的。除了元素可以全部列舉的集合以外，只考慮上述公理所規定的集合。

映射、集合的一般表示法、指標集

假定$x$和$y$都是事物，那麼$\langle x,y\rangle =\{\{x,1\},\{y,2\}\}$稱為由$x$和$y$結成的有序對，$x$和$y$分別稱為$\langle x,y\rangle$的左投影和右投影。有序對是針對無序對說的。可以看到$\langle x',y'\rangle =\langle x,y\rangle$的充分必要條件是：$x'=x$且$y'=y$，而無序對跟元素先後次序無關。

替代公理：假定$X$是一個集合，如果對每個$x\in X$作為左投影，都有一個且只有一個$y$與$x$結成有序對$\langle x,y\rangle$，那麼所有這種有序對的右投影$y$的全體是一個集合$Y$。把每個$\langle x,y\rangle$看作有序對$\langle x,\langle x,y\rangle \rangle$的右投影，再一次應用替代公理，就可以看到所有這種有序對$\langle x,y\rangle$的全體也是一個集合。

假定$X$是一個集合，如果對每個$x\in X$作為左投影，都有一個且只有一個$y$與$x$結成有序對$\langle x,y\rangle$，其右投影$y$的全體記作$Y$（是一個集合），那麼所有這種有序對$\langle x,y\rangle$的全體是一個集合$f$，這時稱$f$為把$X$映上$Y$的映射，或$f$為從$X$到$Y$的滿射，$X$稱為在映射$f$下$Y$的原象，$Y$稱為在映射$f$下$X$的象，記作$Y=F(X)$。一般，假定$\langle x,y\rangle \in f$，那麼記作$y=f(x)$，$x$稱為在映射$f$下$y$的原象，$y$稱為在映射$f$下$x$的象。

由定義，一個映射的每個原象都只有一個象（單值性），但是一個象不一定只有一個原象。如果特別每個象也都只有一個原象，那麼稱$f$是單射，如果特別$f$是滿射，那麼稱$f$是雙射。在雙射$f$下，可以得到一個從$Y$到$X$的映射$f^{-1}$，$f^{-1}$稱為$f$的逆映射。如果$f(x)=y$，那麼$f^{-1}(y)=x$。

假定有一個從集合$H$到$X$的雙射，那麼$X$是一個集合，如果把每個原象$h$（$\in H$）的象記作$x_{h}$（$\in X$），把$X$記作$X=\{x_{h}\mid h\in H\}$，那麼$H$稱為$X$的指標集，每個$h$稱為$x_{h}$的指標。反過來，一個集合總有指標集。因為至少它自己就可以看作自己的指標集。因此這種表示法是普遍使用的。以後應用這種記號的時候不一定再說明$H$是指標集，只要規定這種記號里寫在$H$位置上的必定是指標集。

公理系統規定的集合

規定$A$和$B$都是集合，$B$的每個元素都是$A$的元素，那麼稱$B$為$A$的一個子集，記作$B\subseteq A$或$A\supseteq B$。「$\subseteq$」讀作「包含於」，「$\supseteq$」讀作「包含」。對於任何集合$A$，$B$和$C$有$A\subseteq A$（自反性），$A\subseteq B,B\subseteq A\Rightarrow A=B$（反對稱性），$A\subseteq B,B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$（傳遞性），假定$B\subseteq A$但是$B\neq A$，那麼稱$B$為$A$的一個真子集，記作$B\subset A$。規定空集$\varnothing$是任何集合的子集。

假定一個映射$a$把一個集合$a$映上集合$a$的一個子集，那麼稱$a$為把$a$映入$a$的映射。滿射是映射的特殊情況。

分類公理：假定有一個映射$f$把一個集合$X$映入$\{0,1\}$，那麼$1$的所有原象的全體是$X$的一個子集$X'$，$f$稱為$X'$的特徵函數。分類公理是替代公理的結論，因為如果$1$的原象全體是$\varnothing$，那麼$\varnothing$當然是$X$的子集，否則$1$至少有一個原象$x_{0}\in X$，構造一個映射$g(x)=\left\{{\begin{matrix}x_{0}&,&f(x)=0\\x&,&f(x)=1\end{matrix}}\right.$，那麼$g(X)=X'$，所以$X'$是集合。推論：假定$X$是集合，對每個$x\in X$，命題$p(x)$和$\lnot p(x)$一定有且只有一個成立，那麼$\{x\mid x\in X\land p(x)\}$是一個集合。

假定$A$和$B$都是集合，那麼所有屬於$A$但不屬於$B$的元素的全體是一個集合（由分類公理的推論），稱為$A$和$B$的差集，記作$A\setminus B$。特別，當$B\subseteq A$時，$A\setminus B$稱為$B$在$A$中的補集。

冪集公理：一個集合$A$的所有子集的全體是一個集合，記作$^{A}2$，稱為$A$冪集。可以把$^{A}2$雙射到「所有把$A$映入$2=\{0,1\}$的映射的全體」。所以後者也是一個集合，這個集合和$A$冪集可以互相作為彼此的指標集。今後，往往把它們看作同一個集合，也就是把$A$的一個子集跟它的一個特徵函數混同起來。

併集公理：假定$\{A_{h}\mid h\in H\}$是一個集族，那麼$\{x\mid \exists A_{h}\ni x\}$是一個集合，它稱為這族集合的併集，記作$\bigcup _{h\in H}A_{h}$。當一個集族的全部集合是$A,B,C,\cdots$時，這族集合的併集可寫成$A\cup B\cup C\cup \cdots$。例：$\{1,2,3\}\cup \{0,2,4\}\cup \{2,1\}=\{0,1,2,3,4\}$。

假定$\{A_{h}\mid h\in H\}$是一個集族，那麼$\{x\mid \forall A_{h}\ni x\}$是一個集合，它稱為這族集合的交集，記作$\bigcap _{h\in H}A_{h}$。交集存在是分類公理的結論。當一個集族的全部集合是$A,B,C,\cdots$時，這族集合的交集可寫成$A\cap B\cap C\cap \cdots$。例：$\{1,2,3\}\cap \{0,2,4\}\cap \{2,1\}=\{2\}$。

假定$A=\{x_{h}\mid h\in H\}$，$B=\{y_{k}\mid k\in K\}$，那麼$\{\langle x_{h},y_{k}\rangle \mid x_{h}\in A\land y_{k}\in B\}$是一個集合，它稱為$A$和$B$的笛卡爾（Cartesius）積，記作$A\times B$。笛卡爾積存在是替代公理與併集公理的結論。因為對任何$h\in H$與$k\in K$，$\{\langle x_{h},y_{k}\rangle \}$是一個集合，由替代公理，$\{\{\langle x_{h},y_{k}\rangle \}\mid h\in H\}$是一個集族，因此存在併集$C_{k}=\bigcup _{h\in H}\{\langle x_{h},y_{k}\rangle \}$。$\{C_{k}\mid k\in K\}$又是一個集族，所以又存在併集$\bigcup _{k\in K}C_{k}$，這就是$A\times B$。假定$\{A_{h}\mid h\in H\}$是一個集族，其中每個$A_{h}\neq \varnothing$，那麼由選擇公理，對每個$h\in H$可以得到一個$x_{h}\in A_{h}$，並且由替代公理得到一個集合$\langle x_{h}\mid h\in H\rangle =\{\{x_{h},h\}\mid h\in H\}$，稱為由一個選擇變換的到的有序組。把每個$x_{h}\in A_{h}$換為一個$x_{h}'\in A_{h}$，那麼由替代公理得到另一個集合$\langle x_{h}'\mid h\in H\rangle =\{\{x_{h}',h\}\mid h\in H\}$，這同樣可以看作由一個選擇變換得到的有序組。所有這種有序組的全體是一個集合，它稱為一族集合$A_{h}$（$h\in H$）的笛卡爾積，記作$\prod _{h\in H}A_{h}$。$H=2$時，$\prod _{h\in H}A_{h}$就是$A\times B$。