初中數學（香港課程）/坐標系統/3

變換將一點改變位置，畫出一個新點。這個新點為原來的點的影像。

平移

當一點向着指定方向移動時，該變換稱為平移

探究活動
以黑色圓點紙張於坐標系統標示兩點$M(8,5)$和$N(6,9)$ 試順序記錄M和N的新位置 向左平移2單位 向右平移3單位 向上平移1單位 向下平移4單位

左右平移時，點向水平方向移動。因此，y軸坐標不變

• 向左平移，x軸坐標和平移的單位相減
• 向右平移，x軸坐標和平移的單位相加

設原本坐標為$(x,y)$

向左平移z單位後的影像是$(x-z,y)$

向右平移z單位後的影像是$(x+z,y)$

上下平移時，點向鉛垂方向移動。因此，x軸坐標不變

• 向下平移，y軸坐標和平移的單位相減
• 向上平移，y軸坐標和平移的單位相加

設原本坐標為$(x,y)$

向下平移z單位後的影像是$(x,y-z)$

向上平移z單位後的影像是$(x,y+z)$

示範例子1 直角坐標系統上有一點$Q(8,-6)$，$Q$向左平移9單位至$Q_1$，$Q_1$向上平移5單位至$Q_2$ 解 $Q_1=(8-9,-6)=(-1,-6)$ $Q_2=(-1,-6+5)=(-1,-1)$

同類習題1 {{{3}}}

反射

反射是另一種點的變換，原本的點和影像沿反射軸呈反射對稱

探究活動
第一部分：一點反射的法則 在坐標紙上標上$I(3,2)$和$J(1,4)$ 試於以下地方放上鏡子，並以一把尺量度點和鏡像與鏡子的距離 x軸和y軸 $(1,2)$和$(3,2)$組成的直線 寫出結論 第二部分：沿軸線反射 利用上述法則 標上$I$和$J$沿x軸反射的結果，並得出坐標 標上$I$和$J$沿y軸反射的結果，並得出坐標 坐標和原本的關係是怎樣

原本的點和影像連成的直線和反射軸垂直，並和相交點的距離相等

假設$I$沿$L$反射至$I^{\prime }$ 而$I{I}^{\prime }$交$L$於$M$

1. $IM=I^{\prime }M$
2. $I{I}^{\prime }\perp L$

若果反射軸為x軸，即$M(x,0)$

為保持垂直，$I(x,y_1)$、$I^{\prime }(x,y_2)$ $\begin{array}{ccc}IM& =I^{\prime }M{y}_1-0& =0-y_2\\ y_1=-y_2\end{array}$

反射x軸時，x坐標不變，y坐標符號相反。同樣地，反射y軸時，y坐標不變，x坐標符號相反。

試考慮一點$(x,y)$

1. x軸反射的影像：$(x,-y)$
2. y軸反射的影像：$(-x,y)$

示範例子2 $A(6,-8)$沿x軸反射至$A_1$，$A_1$沿y軸反射至$A_2$ 求$A_1$和$A_2$的坐標 解 $A_1=(6,8)$ $A_2=(-6,8)$

同類習題2 {{{3}}}

Extended content
標上$M(5,-1)$和$N(-5,-1)$，連上$MN$ 試將$I(3,2)$和$J(1,4)$標上 標上沿$MN$反射的影像 記錄原點和反射軸的距離，以及原點和影像的距離 得出結論

$\because IM=I^{\prime }M$

$\therefore I{I}^{\prime }=2IM$

一點和影像的距離是一點和反射軸的垂直距離的兩倍

沿任一水平或垂直線反射時，相等於沿反射軸的方向平移，距離為和影像的距離

假設一點$(x,y)$和反射軸$L$的垂直距離為$k$，影像坐標取決於反射軸為該點的：

1. 左方$=(x-2k,y)$
2. 右方$=(x+2k,y)$
3. 上方$=(x,y+2k)$
4. 下方$=(x,y-2k)$

示範例子3 $D(10,-5)$沿穿過$(4,0)$的直線$L$反射至$D^{\prime }$，求$D^{\prime }$的坐標 解 $10-4=6$ $D$和$L$的距離為6單位 設$D^{\prime }(x,-5)$ $\begin{array}{cc}4-x& =6\\ 4-6& =x\\ x& =-2\end{array}$ $D^{\prime }=(-2,-5)$

同類習題3 {{{3}}}

旋轉

線段可沿其中一端點旋轉，該點為旋轉的中心

一點$B$沿旋轉中心$O$旋轉等同於連着旋轉點$B$和旋轉中心$O$的線段$OB$沿旋轉中心$O$的旋轉

判斷以原點為中心的旋轉中，影像坐標的方法：

1. 連接原點和旋轉點為一線段
2. 畫出旋轉後的線段
3. 觀察所在的象限，記錄端點坐標

若果順時針旋轉和對應逆時針旋轉的角度總和一圈，影像的位置一樣。

• 90°和270°旋轉後的x坐標和y坐標調轉，180°和360°則維持不變

順時針旋轉$n^{\circ }$和逆時針旋轉$(360-n{)}^{\circ }$等同：

1. 順時針旋轉$90^{\circ }=$逆時針旋轉$270^{\circ }=(y,-x)$
2. 旋轉$180^{\circ }=(-x,-y)$
3. 順時針旋轉$270^{\circ }=$順時針旋轉$90^{\circ }=(-y,x)$

示範例子4 $C(-9,7)$順時針旋轉90°至$C_1$，$C$旋轉180°至$C_2$ 寫出$C_1$和$C_2$的坐標 解 $C_1=(7,9)$ $C_2=(9,-7)$

同類習題4 {{{3}}}