初中數學（香港課程）/恆等式與公式/1

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考慮下列方程 $x-1=x+2$ $3(h+9)=3h+27$ 嘗試解方程1和2 方程1和2能否被解？ 部分方程未必能解，用下列的表試值：<

方程式可以沒有解或有無限多解，並不一定只有唯一一個解

有無限多解的方程為恆等式，可以用「$\equiv$」取代恆等式的等號

證明

當方程的左邊和右邊為相同的代數式，顯然為恆等式。

通過展開和化簡兩邊的代數式，可證明恆等式

示範例子1 證明下列恆等式 $8(y-1)+6y\equiv 2(7y+4)$ $\frac{n+4}{5}+\frac{3n-2}{9}\equiv \frac{24n+26}{45}$ 解 $\begin{array}{cccc}\text{L.H.S.}& =8(y-1)+6y& \text{R.H.S.}& =2(7y-4)\\ & =8y-8+6y& & =14y-8\\ & =14y-8\end{array}$ $\because \text{L.H.S.}=\text{R.H.S.}$ $\therefore$ 這個是恆等式 $\begin{array}{cc}\text{L.H.S.}& =\frac{n+4}{5}+\frac{3n-2}{9}\\ & =\frac{9(n+4)}{45}+\frac{5(3n-2)}{9}\\ & =\frac{9n+36+15n-10}{45}& =\frac{24n+26}{45}=\text{R.H.S.}\end{array}$ $\because \text{L.H.S.}=\text{R.H.S.}$ $\therefore$ 這個是恆等式

同類習題1 {{{3}}}

示範例子2 判斷$(p+9)(7p-6)=7p(p-5)+3(p+18)$是否恆等式 解 $\begin{array}{cccc}\text{L.H.S.}& =(p+9)(7p-6)& \text{R.H.S.}& =7p(p+9)-6(p-3)\\ & =7p^2-6p+63p-54& & =7p^2+63p-6p-18\\ & =7p^2+57p-54& 7p^2+57p-18\end{array}$ $\because \text{L.H.S.}\ne \text{R.H.S.}$ $\therefore$不是恆等式

同類習題2 {{{3}}}

求常數

利用含未知常數的恆等式，可通過比較兩邊的同類項，得出未知常數的值

示範例子3 給予$6(q-5)+A\equiv Bq+8$，求常數$A$和$B$ 解 $\text{L.H.S.}=6(q-5)+A=6q-30+A$ $\therefore 6q-30+A\equiv Bq+8$ $\begin{array}{cccc}B=6& & -30+A& =8\\ & & A& =38\end{array}$

同類習題3 {{{3}}}

示範例子4 給予$(Az-9)(5z+B)\equiv 10z(z-7)+C$，求常數$A$、$B$和$C$ 解 $\begin{array}{cccc}\text{L.H.S.}& =(Az-9)(5z+B)& \text{R.H.S.}& =7z(z-4)+C\\ & =5A{z}^2+ABz-40z-9Bz& & =10z^2-40+C\end{array}$ $\therefore 5Az+ABz-40z-9Bz\equiv 10z^2-70z+C$ $\begin{array}{cccccc}5A& =10& 2B-40& =-70& C& =-9\cdot 15\\ A& =2& 2B& =30& C& =-135\\ & & B& =15\end{array}$

同類習題4 {{{3}}}