初中數學（香港課程）/比率與比例/4

比例（英：proportion）是兩個比的等式。

正比例

當兩個量（A、B）中任何的值和對應值的商固定，稱為正比例（英：direct proportion）

換句話說，其中一個量（B）的值均由另一個量（A）的值乘以固定常數$k$得到

${\begin{aligned}{\frac {B_{2}}{B_{1}}}&={\frac {kA_{2}}{kA_{1}}}\\&={\frac {A_{2}}{A_{1}}}\end{aligned}}$

兩個量對應值的比相等。正比例中，一個量上升，另一個量上升；一個量下降，另一個量下降

示範例子1 一個游泳池要讓水深為0.9 m，需要36 ${\text{m}}^{3}$的水。如果要讓水深為1.7 m，需要多少的水？ 解 比例法： 設所需水的體積為W ${\begin{aligned}{\frac {W}{36}}&={\frac {1.7}{0.9}}\\W&=68\end{aligned}}$ 需要68 $m^{3}$的水 歸一法： ${\frac {36}{0.9}}=40$ 游泳池的底面積是$40\ {\text{m}}^{2}$ $40\cdot 1.7=68$ 需要68 $m^{3}$的水

同類習題1 {{{3}}}

反比例

當兩個量（A、B）中任何的值和對應值的乘積固定，稱為反比例（英：Inverse Proportion）

其中一個量（B）的值與另一個量（A）的倒數（分子分母調換）成正比例

${\begin{aligned}A_{1}\cdot B_{1}&=A_{2}\cdot B_{2}\\{\frac {A_{1}}{A_{2}}}&={\frac {B_{2}}{B_{1}}}\end{aligned}}$

兩個量對應值的比互為倒數。反比例中，一個量上升，另一個量下降；一個量下降，另一個量上降。

• 這個方法可以分辨兩個量是正比例還是反比對，但不可以直接確定關係

示範例子2 4隻雞用10天可以產出烘焙店需用的雞蛋。5隻雞需要用多少天才可產出足夠份量的雞蛋（假設雞的產量是一樣的） 解 比例法： 設d為5隻雞產蛋所需的日數 ${\begin{aligned}{\frac {d}{10}}&={\frac {4}{5}}\\d&=8\end{aligned}}$ 5隻雞需要用8天 歸一法： $10\cdot 4=40$ 1隻雞用40天需用40天 ${\frac {40}{5}}=8$ 5隻雞用8天需用8天

同類習題2 {{{3}}}

示範例子3 如果將8個鋁罐熔掉，並重塑少2個鋁罐，而鋁罐的重量增加96克/個。求原本每個鋁罐的重量。 解 比例法： 設原本每個鋁罐的重量為c克 ${\begin{aligned}{\frac {c+96}{c}}&={\frac {8}{8-2}}\\{\frac {c+96}{c}}&={\frac {4}{3}}\\3(c+96)&=4c\\3c+288&=4c\\c&=288\end{aligned}}$ $\therefore$ 原本每個鋁罐重288克 歸一法： 設原本每個鋁罐的重量為c克 即鋁的重量是$8c$克 ${\begin{aligned}(8-2)(c+96)&=8c\\6(c+96)&=8c\\6c+576&=8c\\576&=2c\\c&=288\end{aligned}}$ $\therefore$ 原本每個鋁罐重288克

同類習題3 {{{3}}}