初中數學（香港課程）/畢氏定理/1

直角三角形中，直角的兩條邊稱為直角邊，而直角的對邊稱為斜邊（英：hypotenuse）。

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證明

畢氏定理（英：Pythagorean Theorem）指出：兩條直角邊長度的平方相等於斜邊長度的平方

• 如果兩條直角邊是a和b，斜邊為c：

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

示範例子1 $\Delta ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$AB=2$ cm、$BC=6$ cm。求AC，並以根式表示 解 ${\begin{aligned}AC^{2}&=2^{2}+6^{2}\\AC^{2}&=40\\AC&={\sqrt {40}}\\&=2{\sqrt {10}}\end{aligned}}$（畢氏定理）

同類習題1 {{{3}}}

示範例子2 $\Delta XYZ$中，$XY\perp YZ$，$3XY=4YZ$和$XZ=10$ cm。求XY 解 ${\begin{aligned}3XY=4YZ\\YZ&={\frac {3}{4}}XY\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}XY^{2}+({\frac {3}{4}}XY)^{2}&=10^{2}\\XY^{2}+{\frac {9}{16}}XY^{2}&=100\\16XY^{2}+9XY^{2}&=1\ 600\\25XY^{2}&=1\ 600\\XY^{2}&=64\\XY&=8\end{aligned}}$（畢氏定理） k方法： ${\begin{aligned}3XY&=4YZ\\{\frac {XY}{YZ}}&=4:3\end{aligned}}$ 設$XY=4k$和$YZ=3k$ ${\begin{aligned}(4k)^{2}+(3k)^{2}&=10^{2}\\16k^{2}+9k^{2}&=100\\25k^{2}&=100\\k^{2}&=4\\k&=2\end{aligned}}$ （畢氏定理） $XY=4\cdot 2=8$

同類習題2 {{{3}}}

示範例子3 在$\Delta MNO$和$\Delta LON$中，MLO是一直線並$\angle O=90^{\circ }$。$ML=9$、$LO=6$和$MN=17$ 求ON和LN 解 ${\begin{aligned}ON^{2}+(9+6)^{2}&=17^{2}\\ON^{2}+225&=289\\ON^{2}&=64\\ON&=8\end{aligned}}$（畢氏定理） ${\begin{aligned}LN^{2}&=6^{2}+8^{2}\\LN^{2}&=100\\LN&=10\end{aligned}}$（畢氏定理）

同類習題3 {{{3}}}

應用題

示範例子4 圖書館位於學校正北面3 m，位於學校正西面的運動場離圖書館15 m，求學校和運動場的距離（取三位有效數字） 解 設學校和運動場的距離為d ${\begin{aligned}3^{2}+d^{2}&=15^{2}\\d^{2}&=216\\d&\approx 14.7\ {\text{m}}\end{aligned}}$

同類習題4 {{{3}}}

示範例子5 支撐電線的兩條柱分別高8 m和10 m，在水平地面的距離是24 m。假設電線是直的，求電線的長度（取三位有效數字） 解 設地面為QS，兩條較短和較長的柱分別為PQ和RS。以及RS上的點T，使解析失败 (语法错误): {\displaystyle PT\perp RS<math>。 <math>ST=8\ \text{m}} ${\begin{aligned}RT+8&=10\\RT&=2\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}PR^{2}&=2^{2}+24^{2}\\PR^{2}&=580\\PR&=24.1\end{aligned}}$

同類習題5 {{{3}}}