重積分

直角坐標

例題

四

求 x+2y+z= 2、x=2y、x=0 和 z=0 所圍的四面體體積。

$V=\int _{0}^{1}\int _{x/2}^{1-2/x}2-x-2y\,dydx$

五

$\int _{0}^{1}\int _{x}^{1}\sin y^{2}dydx$

估計

定義

$mA\leq \int f(x,y)dA\leq MA$

例題

六

用上述定義，估計 $\int e^{\sin x\cos y}dA$，D 為在 xy 面上中心原點，半徑 2 的圓盤。

${\frac {4\pi }{e}}\leq \int f(x,y)dA\leq 4\pi e$

代換法

例題

三

$\iint _{R}e^{\frac {x+y}{x-y}}dA$，R 是頂點 (1,0)、(2,0)、(0,-2)、(0,-1) 所圍的梯形。

${\begin{aligned}&\\&={\frac {3}{4}}\left(e-{\frac {1}{e}}\right)\end{aligned}}$

習題

參見：微積分學/重積分/習題 § 代換法

極座標

例題

一

$\iint _{R}3x+4y^{2}dA$，R 是 x²+y²=1 和 x²+y²=4 上半部。

${\begin{aligned}&\\&={\frac {15\pi }{2}}\end{aligned}}$

二

求 z=0 和 z=1-x²-y² 所圍體積。

${\begin{aligned}&V=\int 1-x^{2}-y^{2}dA\\&={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

三

求 z=0、z=x²+y² 和 x²+y²=2x 所圍體積。

${\begin{aligned}&V=\int x^{2}+y^{2}dA\\&={\frac {3\pi }{2}}\end{aligned}}$

習題

參見：微積分學/重積分/習題 § 極座標

圓柱座標

例題

三

由 z=4、x²+y²=1 和 x²+y²+z=1 所圍的區域，密度和圓柱軸心距離成比例，求質量。

習題

九

$\iiint _{E}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}dV$，E 是 z=-5、z=4 和 x²+y²=16 所圍的區域。

${\begin{aligned}&\\&=384\pi \end{aligned}}$

十一

$\iiint _{E}x^{2}dV$，E 是 z=0、x²+y²=1 和 z²=4(x²+y²) 所圍的區域。

${\begin{aligned}&\\&={\frac {2\pi }{5}}\end{aligned}}$

球座標

例題

三

求單位球 $\int e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}dV$。

${\begin{aligned}&\\&={\frac {4\pi \left(e-1\right)}{3}}\end{aligned}}$