指數與對數

導言

指數函數與對數函數是基礎數學的重要內容。指數函數記為 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0, a \neq 1$ ），對數函數是其反函數，記為 $\log_{a} x$ ，滿足 $\log_{a} (a^{x}) = x$ 與 $a^{\log_{a} x} = x$ 。取底 $e$ 可得到自然指數 $e^{x}$ 與自然對數 $\ln x$ 。

概念與公式	說明與例子
指數函數 $a^{x}$	底數 $a > 0, a \neq 1$ 。當 $x$ 為整數、分數或實數時，通過冪運算一致性與連續性定義。例： $2^{5} = 32$ ， $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ ， $9^{1 / 2} = 3$ 。
對數函數 $\log_{a} x$	對數是指數的反函數，定義域 $x > 0$ 。滿足 $a^{\log_{a} x} = x$ 。例： $\log_{10} 1000 = 3$ ， $\ln (e^{π}) = π$ 。
指數運算律	$a^{x} a^{y} = a^{x + y}$ ； $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ ； $(a^{x})^{y} = a^{x y}$ ； $a^{0} = 1$ ； $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$ 。
對數運算律	$\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y$ ； $\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$ ； $\log_{a} (x^{r}) = r \log_{a} x$ 。
換底公式	$\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$ （常選 $b = e$ 或 $b = 10$ ）。例： $\log_{2} 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2}$ 。
自然底 $e$	$e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ 。 $e^{x}$ 與 $\ln x$ 具有簡潔的求導與積分性質。

微積分要點

求導：

 -  $\frac{d}{d x} a^{x} = a^{x} \ln a$ 。
 -  $\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ 。
 -  $\frac{d}{d x} \ln x = \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）。
 -  $\frac{d}{d x} \log_{a} x = \frac{1}{x \ln a}$ 。

積分：

 -  $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ 。
 -  $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ 。
 -  $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ 。

展開：

 -  $e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ 。
 -  $\ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} \frac{x^{n}}{n}$ （ $| x | < 1$ ）。

方程與不等式

指數方程 $a^{f (x)} = b$ 化為 $f (x) = \log_{a} b$ 。
對數方程 $\log_{a} f (x) = c$ 等價於 $f (x) = a^{c}$ 。
單調性：當 $a > 1$ 時， $a^{x}$ 與 $\log_{a} x$ 為增函數；當 $0 < a < 1$ 時，二者為減函數。

應用

指數增長與衰減： $y (t) = C e^{k t}$ 。當 $k > 0$ 增長，當 $k < 0$ 衰減。半衰期 $T_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{| k |}$ 。
對數標度：分貝、pH、地震震級、對數坐標等；利用 $\ln (x y) = \ln x + \ln y$ 將乘法結構線性化。
數據擬合：若 $y = C e^{k x}$ ，取對數得 $\ln y = \ln C + k x$ ，可線性回歸估計參數。
信息量： $H = - \sum p_{i} \log_{2} p_{i}$ ；底數改變對應比例因子變化。

例題

計算 $\log_{2} 32$ 。因 $32 = 2^{5}$ ，故 $\log_{2} 32 = 5$ 。
求解 $3^{x} = 81$ 。因 $81 = 3^{4}$ ，故 $x = 4$ 。
化簡 $\log_{a} (x^{3} \sqrt{x})$ （ $x > 0$ ）。 $\log_{a} (x^{3} \cdot x^{1 / 2}) = \log_{a} (x^{7 / 2}) = \frac{7}{2} \log_{a} x$ 。
比較 $\ln 2$ 與 $\log_{10} 2$ 。由換底 $\log_{10} 2 = \frac{\ln 2}{\ln 10}$ ，近似 $\log_{10} 2 \approx 0.3010$ 。

學習提示

取對數前確認自變量為正。
運算中優先使用指數與對數的運算律。
數值計算可在對數域進行以減少誤差。
注意： $\log_{a} (x + y) \neq \log_{a} x + \log_{a} y$ ； $\ln (x^{2}) = 2 \ln | x |$ 。

拓展

連續複利： $F = P e^{r t}$ 。
微分方程： $y^{'} = k y$ 的通解為 $y = C e^{k t}$ 。
級數逼近用於誤差分析與數值計算。
對數的歷史可追溯至納皮爾與布里格斯； $e$ 與自然對數由歐拉系統化。

練習

1. 計算： $\log_{3} \frac{1}{27}$ ； $\log_{5} 125$ ； $\ln (e^{π})$ 。 2. 解方程： $2^{x} = 7$ ； $\log_{4} (x - 1) = 2$ ； $\ln x + \ln (x - 1) = \ln 6$ （ $x > 1$ ）。 3. 化簡與證明： $\log_{a} (\frac{x^{2} y}{\sqrt{z}})$ ；證明 $\log_{b} a = \frac{1}{\log_{a} b}$ 。 4. 應用：某物質半衰期為 10 天， $M (t) = M_{0} 2^{- t / 10}$ 。求 30 天后剩餘比例與剩餘 10% 時的 $t$ 。