指數與對數

導言

指數函數與對數函數是基礎數學的重要內容。指數函數記為 $f(x)=a^{x}$ （ $a>0,a\neq 1$ ），對數函數是其反函數，記為 $\log _{a}x$ ，滿足 $\log _{a}(a^{x})=x$ 與 $a^{\log _{a}x}=x$ 。取底 $e$ 可得到自然指數 $e^{x}$ 與自然對數 $\ln x$ 。

概念與公式	說明與例子
指數函數 $a^{x}$	底數 $a>0,a\neq 1$ 。當 $x$ 為整數、分數或實數時，通過冪運算一致性與連續性定義。例： $2^{5}=32$ ， $2^{-3}={\tfrac {1}{8}}$ ， $9^{1/2}=3$ 。
對數函數 $\log _{a}x$	對數是指數的反函數，定義域 $x>0$ 。滿足 $a^{\log _{a}x}=x$ 。例： $\log _{10}1000=3$ ， $\ln(e^{\pi })=\pi$ 。
指數運算律	$a^{x}a^{y}=a^{x+y}$ ； ${\tfrac {a^{x}}{a^{y}}}=a^{x-y}$ ； $(a^{x})^{y}=a^{xy}$ ； $a^{0}=1$ ； $a^{-x}={\tfrac {1}{a^{x}}}$ 。
對數運算律	$\log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y$ ； $\log _{a}\!{\big (}{\tfrac {x}{y}}{\big )}=\log _{a}x-\log _{a}y$ ； $\log _{a}(x^{r})=r\,\log _{a}x$ 。
換底公式	$\log _{a}x={\dfrac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}$ （常選 $b=e$ 或 $b=10$ ）。例： $\log _{2}10={\dfrac {\ln 10}{\ln 2}}$ 。
自然底 $e$	$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ 。 $e^{x}$ 與 $\ln x$ 具有簡潔的求導與積分性質。

微積分要點

求導：

 -  ${\dfrac {d}{dx}}\,a^{x}=a^{x}\ln a$ 。
 -  ${\dfrac {d}{dx}}\,e^{x}=e^{x}$ 。
 -  ${\dfrac {d}{dx}}\,\ln x={\dfrac {1}{x}}$ （ $x>0$ ）。
 -  ${\dfrac {d}{dx}}\,\log _{a}x={\dfrac {1}{x\ln a}}$ 。

積分：

 -  $\int a^{x}\,dx={\dfrac {a^{x}}{\ln a}}+C$ 。
 -  $\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$ 。
 -  $\int {\dfrac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C$ 。

展開：

 -  $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}$ 。
 -  $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\dfrac {x^{n}}{n}}$ （ $|x|<1$ ）。

方程與不等式

指數方程 $a^{f(x)}=b$ 化為 $f(x)=\log _{a}b$ 。
對數方程 $\log _{a}f(x)=c$ 等價於 $f(x)=a^{c}$ 。
單調性：當 $a>1$ 時， $a^{x}$ 與 $\log _{a}x$ 為增函數；當 $0<a<1$ 時，二者為減函數。

應用

指數增長與衰減： $y(t)=C\,e^{kt}$ 。當 $k>0$ 增長，當 $k<0$ 衰減。半衰期 $T_{1/2}={\dfrac {\ln 2}{|k|}}$ 。
對數標度：分貝、pH、地震震級、對數坐標等；利用 $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ 將乘法結構線性化。
數據擬合：若 $y=Ce^{kx}$ ，取對數得 $\ln y=\ln C+kx$ ，可線性回歸估計參數。
信息量： $H=-\sum p_{i}\log _{2}p_{i}$ ；底數改變對應比例因子變化。

例題

計算 $\log _{2}32$ 。因 $32=2^{5}$ ，故 $\log _{2}32=5$ 。
求解 $3^{x}=81$ 。因 $81=3^{4}$ ，故 $x=4$ 。
化簡 $\log _{a}(x^{3}{\sqrt {x}})$ （ $x>0$ ）。 $\log _{a}(x^{3}\cdot x^{1/2})=\log _{a}(x^{7/2})={\dfrac {7}{2}}\log _{a}x$ 。
比較 $\ln 2$ 與 $\log _{10}2$ 。由換底 $\log _{10}2={\dfrac {\ln 2}{\ln 10}}$ ，近似 $\log _{10}2\approx 0.3010$ 。

學習提示

取對數前確認自變量為正。
運算中優先使用指數與對數的運算律。
數值計算可在對數域進行以減少誤差。
注意： $\log _{a}(x+y)\neq \log _{a}x+\log _{a}y$ ； $\ln(x^{2})=2\ln |x|$ 。

拓展

連續複利： $F=P\,e^{rt}$ 。
微分方程： $y'=ky$ 的通解為 $y=Ce^{kt}$ 。
級數逼近用於誤差分析與數值計算。
對數的歷史可追溯至納皮爾與布里格斯； $e$ 與自然對數由歐拉系統化。

練習

1. 計算： $\log _{3}{\tfrac {1}{27}}$ ； $\log _{5}125$ ； $\ln(e^{\pi })$ 。 2. 解方程： $2^{x}=7$ ； $\log _{4}(x-1)=2$ ； $\ln x+\ln(x-1)=\ln 6$ （ $x>1$ ）。 3. 化簡與證明： $\log _{a}\!{\big (}{\tfrac {x^{2}y}{\sqrt {z}}}{\big )}$ ；證明 $\log _{b}a={\dfrac {1}{\log _{a}b}}$ 。 4. 應用：某物質半衰期為 10 天， $M(t)=M_{0}2^{-t/10}$ 。求 30 天后剩餘比例與剩餘 10% 時的 $t$ 。