數理統計/時間序列入門

數理統計/時間序列入門

學習目標

目標項	內容
平穩性與自相關	弱平穩、ACF、PACF
基本模型	AR、MA、ARMA 與差分
季節與趨勢	STL/差分、季節ARIMA

能力要點	說明
診斷圖	ACF/PACF識別結構
參數估計	Yule–Walker、MLE
預測與評估	滾動預測、誤差指標

平穩與自相關

弱平穩指 $\mathrm {E} (X_{t})=\mu$ 常數、協方差僅隨滯後 $h$ 變化。自協方差 $\gamma (h)=\mathrm {Cov} (X_{t},X_{t+h})$，自相關 $\rho (h)=\gamma (h)/\gamma (0)$。

概念	記號	作用
ACF	$\rho (h)$	序列相關結構
PACF	局部相關	識別AR階數
白噪聲	$\mathrm {E} =0,\ \rho (h)=0(h\neq 0)$	參考基線

基本模型

AR(p)

$X_{t}=\phi _{1}X_{t-1}+\cdots +\phi _{p}X_{t-p}+\varepsilon _{t}$，$\varepsilon _{t}\sim {\mathcal {WN}}(0,\sigma ^{2})$。穩定性由特徵方程根在單位圓外決定。

MA(q)

$X_{t}=\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{t-q}$。可逆性要求反向多項式根在單位圓外。

ARMA(p,q)

結合二者：$\phi (B)X_{t}=\theta (B)\varepsilon _{t}$，$B$ 為滯後算子。

模型	識別線索	備註
AR	PACF截斷、ACF拖尾	穩定性判別
MA	ACF截斷、PACF拖尾	可逆性判別
ARMA	二者均拖尾	需數值擬合

趨勢與季節

非平穩序列可做差分 $\nabla X_{t}=X_{t}-X_{t-1}$ 或季節差分 $\nabla _{s}X_{t}=X_{t}-X_{t-s}$；STL分解用於趨勢與季節提取。

處理	公式/方法	用途
一階差分	$\nabla X_{t}$	去趨勢
季節差分	$\nabla _{s}X_{t}$	去季節
STL	局部回歸分解	穩健分解

ARIMA 與 SARIMA

ARIMA(p,d,q) 在差分後擬合 ARMA；季節型 SARIMA $(p,d,q)\times (P,D,Q)_{s}$ 同時含季節部分。

元素	解釋	提示
p,q	非季節 AR/MA 階數	由ACF/PACF與信息準則
d	非季節差分階數	單位根檢驗輔助
P,Q,D,s	季節結構參數	結合季節ACF

估計與選擇

用Yule–Walker估計AR；一般用MLE或CSS-MLE擬合ARMA/ARIMA，並用AIC/BIC與殘差診斷選擇模型。

步驟	目標	檢查
初步識別	畫ACF/PACF	看截斷拖尾
參數擬合	MLE/CSS-MLE	收斂與穩定性
診斷	殘差近白噪聲	Ljung–Box

預測與評估

多步預測基於狀態遞推；評估用MAE、RMSE、MAPE，並做滾動或摺疊時間窗驗證避免泄露。

指標	公式簡述	注意
MAE	平均絕對誤差	穩健
RMSE	均方根誤差	懲罰大偏差
MAPE	相對誤差	零值敏感

章節測驗

單選題

若序列的PACF在滯後2處截斷，而ACF呈拖尾，最可能模型是：

1. MA(2)
2. AR(2)
3. ARMA(1,1)
4. 白噪聲

顯示答案/解析

答案：2。AR模型常見特徵是PACF截斷、ACF拖尾。

判斷題

SARIMA模型用於同時處理非季節與季節非平穩。

1. 對
2. 錯

顯示答案/解析

答案：對。

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