數理統計/線性模型與方差分析

數理統計/線性模型與方差分析

學習目標

目標項	內容
線性模型框架	$Y=X\beta +\epsilon$，最小二乘
推斷	t檢驗、F檢驗與區間
方差分析	單因素/雙因素 ANOVA

能力要點	說明
設計矩陣	構造虛擬變量與對比
方差分解	SST=SSR+SSE
模型診斷	基本殘差檢查

最小二乘與正態線性模型

OLS 解 $\hat{\beta }=(X^{\mathrm{\top }}X{)}^{-1}{X}^{\mathrm{\top }}Y$（列滿秩）；若 $\epsilon \sim 𝒩(0,{\sigma }^{2}I)$，則推斷基於 t/F。

量	公式	含義
殘差	$e=Y-X\hat{\beta }$	觀測-擬合
方差估計	${\hat{\sigma }}^2=\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{E}/(n-p)$	$p$ 為參數數
置信區間	${\hat{\beta }}_j\pm t_{n-p,1-\alpha /2}\mathrm{S}\mathrm{E}({\hat{\beta }}_j)$	分量區間

ANOVA

單因素模型 $Y_{ij}=\mu +{\alpha }_i+{\epsilon }_{ij}$；F統計量基於組間均方與組內均方。

項	SS	df	MS	F
組間	SSR	$k-1$	MSB	$\text{MSB}/\text{MSW}$
組內	SSE	$n-k$	MSW	—
總體	SST	$n-1$	—	—

線性對比與多重比較

對比 $c^{\mathrm{\top }}\beta$ 的檢驗；多重比較用Bonferroni、Tukey等控制家族錯誤率。

主題	工具	備註
線性對比	t/F 檢驗	設計驅動
多重比較	Bonferroni、Tukey	校正閾值

章節測驗

單選題

在線性模型 $Y=X\beta +\epsilon$ 中，參數估計 $\hat{\beta }$ 的標準誤依賴於：

1. 僅樣本量
2. 僅設計矩陣
3. 設計矩陣與 ${\hat{\sigma }}^2$
4. 與二者均無關

顯示答案/解析

答案：3。

判斷題

單因素ANOVA的F統計量等於組間均方除以組內均方。

1. 對
2. 錯

顯示答案/解析

答案：對。

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