流體力學/坐標系與張量記號速覽

坐標系概覽與場量類型

本節快速梳理流體力學中常用的坐標系與場量類型（純量、向量、張量），並給出基本算子在不同坐標系下的表達，便於後續推導與應用。

• 純量場示例：壓力場$p(\mathbf {x} ,t)$、溫度場$T(\mathbf {x} ,t)$。
• 向量場示例：速度場$\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})$。
• 二階張量示例：應力張量${\boldsymbol {\sigma }}=[\sigma _{ij}]$、速率應變張量$\mathbf {S} =[S_{ij}]$。

常用坐標系：

• 直角坐標系（笛卡爾）：$(x,y,z)$，基向量$\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}$。
• 圓柱坐標系：$(r,\theta ,z)$，基向量$\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{z}$。
• 球坐標系：$(r,\theta ,\phi )$（徑向、極角、方位角），基向量$\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\phi }$。

基本算子（概念）：

• 梯度：$\nabla f$
• 散度：$\nabla \cdot \mathbf {a}$
• 旋度：$\nabla \times \mathbf {a}$
• 拉普拉斯算子：$\nabla ^{2}f=\nabla \cdot (\nabla f)$

直角坐標系的分量表達：

• 梯度：$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)$
• 散度：$\nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}$
• 旋度：$\nabla \times \mathbf {a} =\left({\frac {\partial a_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial a_{y}}{\partial z}},\ {\frac {\partial a_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial a_{z}}{\partial x}},\ {\frac {\partial a_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial a_{x}}{\partial y}}\right)$
• 拉普拉斯：$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

圓柱坐標系的分量表達：

• 梯度：$\nabla f=\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}$
• 散度：$\nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(ra_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial a_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}$
• 拉普拉斯（純量）：$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

球坐標系的分量表達：

• 梯度：$\nabla f=\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{\phi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}$
• 散度：$\nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}a_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,a_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial a_{\phi }}{\partial \phi }}$
• 拉普拉斯（純量）：$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}$

張量記號與索引約定

為統一表達並簡化推導，本節提供常用張量與索引記號。

• 愛因斯坦求和約定：重複下標自動求和，如$a_{i}b_{i}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}b_{i}$。
• 克羅內克 δ：$\delta _{ij}$，當$i=j$為$1$，否則為$0$。
• Levi–Civita符號：$\varepsilon _{ijk}$，用於表達叉乘與旋度。
• 速度梯度張量：分量$\partial u_{i}/\partial x_{j}$。
• 對稱/反對稱分解：$\nabla \mathbf {u} =\mathbf {S} +\mathbf {\Omega }$，其中

 $S_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$，
 $\Omega _{ij}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$。

坐標變換與方程不變性

坐標變換關係與方程的幾何不變性是建立通用推導的關鍵。

• 直角到圓柱：$x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta ,\ z=z$；速度分量從$(u_{x},u_{y},u_{z})$到$(u_{r},u_{\theta },u_{z})$。
• 直角到球：$x=r\sin \theta \cos \phi ,\ y=r\sin \theta \sin \phi ,\ z=r\cos \theta$；速度分量從$(u_{x},u_{y},u_{z})$到$(u_{r},u_{\theta },u_{\phi })$。
• 方程不變性：納維–斯托克斯的物理意義與坐標選擇無關，分量表達隨度量與基向量調整。不可壓形式

 $\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho \mathbf {f}$
 可在任意正交坐标中展开。

小結：先以笛卡爾坐標熟悉算子與張量記號，再根據問題幾何選擇圓柱或球坐標；用索引約定統一推導路徑，提升表達與計算的一致性。