連續介質與運動學 - 質量守恆與輸運 - 動量方程與納維-斯托克斯 - 本構模型與熱力學

能量守恆的概念和特徵

在連續介質框架下，能量守恆表述為：一物質體內總能量的變化率，等於外力所作的功率與外加熱量之和。設流體密度為 $\rho$ ，速度為 $\mathbf {u}$ ，比內能為 $e$ ，壓強為 $p$ ，柯西應力為 ${\boldsymbol {\sigma }}$ ，熱流為 $\mathbf {q}$ ，體熱源為 $r$ ，則比總能為 $E=e+{\tfrac {1}{2}}|\mathbf {u} |^{2}$ 。
能量守恆的主要特徵包括：

局部總能量方程（Cauchy 形式）：
$\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho E)+\nabla \!\cdot (\rho E\,\mathbf {u} )=\nabla \!\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {u} )-\nabla \!\cdot \mathbf {q} +\rho \,\mathbf {b} \!\cdot \!\mathbf {u} +\rho r$ ，其中 $\mathbf {b}$ 為單位質量體力。
藉助動量方程可將機械功分解為壓強功與黏性耗散：
$\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }},\quad \nabla \!\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {u} )=-\nabla \!\cdot (p\mathbf {u} )+{\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} +p\,\nabla \!\cdot \mathbf {u}$ 。
內能形式：
$\displaystyle \rho {\frac {De}{Dt}}=-\,p\,\nabla \!\cdot \mathbf {u} +{\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} -\nabla \!\cdot \mathbf {q} +\rho r$ 。
焓形式（ $h=e+p/\rho$ ）：
$\displaystyle \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+{\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} -\nabla \!\cdot \mathbf {q} +\rho r$ 。

熱力學相容性（第一、第二定律）

能量方程必須與熱力學第一、第二定律相容。設比熵為 $s$ ，絕對溫度為 $T$ 。對簡單可壓縮流體，有：

Gibbs 關係：
$\displaystyle T\,ds=de+p\,d\!\left({\frac {1}{\rho }}\right)-\sum _{k}\mu _{k}\,dY_{k}$ ，單組分時可略去化學項。
Clausius–Duhem 不等式（第二定律的局部形式）：
$\displaystyle \rho {\frac {Ds}{Dt}}+\nabla \!\cdot \!\left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)\geq \rho {\frac {r}{T}}$ 。

將內能方程與 Gibbs 關係聯立，可得熵平衡：

$\displaystyle \rho {\frac {Ds}{Dt}}={\frac {1}{T}}\,{\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} -{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathbf {q} \!\cdot \!\nabla T+{\text{(化学生成项)}}+\rho {\frac {r}{T}}-\nabla \!\cdot \!\left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)$ 。

若採用傅里葉導熱 $\mathbf {q} =-k\nabla T$ （ $k\geq 0$ ）與牛頓型黏性應力 ${\boldsymbol {\tau }}=2\mu \mathbf {D} +\lambda (\nabla \!\cdot \mathbf {u} )\mathbf {I}$ ，其中 $\mathbf {D} ={\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathsf {T}})$ ，則熵產生率

$\displaystyle \sigma _{s}={\frac {1}{T}}\,{\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} -{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathbf {q} \!\cdot \!\nabla T={\frac {2\mu }{T}}\,\mathbf {D} :\mathbf {D} +{\frac {\lambda }{T}}(\nabla \!\cdot \mathbf {u} )^{2}+{\frac {k}{T^{2}}}|\nabla T|^{2}\geq 0$ ，

從而保證與第二定律相容。

特例與一致性檢驗

不可壓、常物性（ $\nabla \!\cdot \mathbf {u} =0$ ， $\rho ,\mu ,k$ 常數）：
$\displaystyle \rho c_{p}{\frac {DT}{Dt}}=k\nabla ^{2}T+\Phi +\rho r,\quad \Phi \equiv {\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} \geq 0$ 。
等熵、無黏、絕熱（ ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {0}$ ， $\mathbf {q} =\mathbf {0}$ ， $r=0$ ， $Ds/Dt=0$ ）：回復機械能守恆。
穩態、無黏、絕熱、位能變化可忽略，沿流線：
$\displaystyle {\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{2}}+\int {\frac {dp}{\rho }}={\text{常数}}$ ，對定熵或柱狀流體可化為經典伯努利式。

機械能與熱能的分解

將總能量方程按動量方程分解為動能方程與內能方程：

動能方程：
$\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\!\left({\tfrac {1}{2}}\rho |\mathbf {u} |^{2}\right)+\nabla \!\cdot \!\left({\tfrac {1}{2}}\rho |\mathbf {u} |^{2}\mathbf {u} \right)=-\,\mathbf {u} \!\cdot \!\nabla p+\mathbf {u} \!\cdot (\nabla \!\cdot {\boldsymbol {\tau }})-\nabla \!\cdot (p\mathbf {u} )+\rho \mathbf {b} \!\cdot \!\mathbf {u}$ 。
內能方程（重複列示）：
$\displaystyle \rho {\frac {De}{Dt}}=-\,p\,\nabla \!\cdot \mathbf {u} +\Phi -\nabla \!\cdot \mathbf {q} +\rho r,\quad \Phi ={\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} \geq 0$ 。

黏性耗散 $\Phi$ 將機械能不可逆地轉化為內能，這與熵產生為正相一致。

狀態方程與熱力學封閉

能量方程需要熱力學關係閉合：

定比熱完全氣體：
$\displaystyle p=\rho RT,\quad e=c_{v}T,\quad h=c_{p}T,\quad c_{p}-c_{v}=R$ 。
熱完全氣體：
$\displaystyle e=e(T),\ h=h(T),\ c_{p}(T){-}c_{v}(T)=R$ 。
一般可壓流體：
$\displaystyle de=Tds-p\,d\!\left({\frac {1}{\rho }}\right),\quad h=e+{\frac {p}{\rho }}$ 。

配合傅里葉導熱、菲克擴散等輸運定律，可保證熵產生非負。

與納維–斯托克斯及輸運方程的相容性

能量需與質量、動量、組分輸運耦合：

質量方程： $\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \!\cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ 。
動量方程： $\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nabla \!\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\rho \mathbf {b} =-\nabla p+\nabla \!\cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b}$ 。
組分方程（多組分時）： $\displaystyle {\frac {\partial (\rho Y_{k})}{\partial t}}+\nabla \!\cdot (\rho Y_{k}\mathbf {u} +\mathbf {J} _{k})={\dot {\omega }}_{k}$ 。

需採用與 Onsager 原理一致的本構關係，使總熵產生保持非負。

示例：黏性加熱的平面庫埃特流

考慮兩平板間穩態庫埃特流，板距 $H$ ，上下板速度分別為 $0$ 與 $U$ ，無壓強梯度、不可壓、常 $\mu ,k$ 。可取絕熱或等溫邊界。

速度： $u_{x}(y)=U\,y/H$ ， $u_{y}=0$ 。
耗散： $\Phi =2\mu D_{xy}^{2}=\mu \left({\frac {du_{x}}{dy}}\right)^{2}=\mu (U/H)^{2}$ 。
能量方程化為： $\displaystyle 0=k{\frac {d^{2}T}{dy^{2}}}+\mu (U/H)^{2}$ 。
等溫壁 $T(0)=T(H)=T_{w}$ 時： $\displaystyle T(y)=T_{w}+{\frac {\mu U^{2}}{2k}}\left({\frac {y}{H}}\right)\!\left(1-{\frac {y}{H}}\right)$ 。

這表明黏性耗散將機械能轉化為熱，中心溫度上升，符合第二定律。

學習提示

建議先通讀質量與動量方程，再回到能量守恆的分解形式。
處理可壓縮流時，優先選用焓形式，並結合狀態方程與聲速關係。
數值計算中應檢查熵產生是否為正，以驗證離散本構的一致性。