流體力學/馬赫數與可壓縮效應

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流體力學
馬赫數與可壓縮效應

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馬赫數的定義

馬赫數（Mach number）是流體力學中描述可壓縮流動的重要無量綱參數，定義為流體速度與當地聲速的比值：

Ma={\frac {v}{a}}

其中：

$v$ 為流體速度
$a$ 為當地聲速

聲速的計算公式為：

a={\sqrt {\gamma RT}}

其中：

$\gamma$ 為比熱比（空氣中約為1.4）
$R$ 為氣體常數
$T$ 為絕對溫度

流動分類

根據馬赫數的大小，流動可分為以下幾類：

不可壓縮流動（Incompressible flow）: $Ma<0.3$; 密度變化小於5%，可忽略壓縮性效應。大多數日常流動屬於此類。

亞音速流動（Subsonic flow）: $0.3\leq Ma<0.8$; 需要考慮壓縮性，但流場中無激波產生。

跨音速流動（Transonic flow）: $0.8\leq Ma\leq 1.2$; 流場中同時存在亞音速和超音速區域，可能出現局部激波。

超音速流動（Supersonic flow）: $1.2<Ma\leq 5.0$; 全流場速度超過聲速，存在斜激波和膨脹波。

高超音速流動（Hypersonic flow）: $Ma>5.0$; 需考慮高溫氣體效應、化學反應等複雜現象。

可壓縮效應

密度變化

在可壓縮流動中，密度不再是常數。根據等熵流動關係：

{\frac {\rho }{\rho _{0}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}Ma^{2}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}

其中 $\rho _{0}$ 為滯止密度。

壓強變化

壓強與馬赫數的關係為：

{\frac {p}{p_{0}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}Ma^{2}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}

溫度變化

溫度與馬赫數的關係：

{\frac {T}{T_{0}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}Ma^{2}\right)^{-1}

其中 $T_{0}$ 為滯止溫度（總溫）。

臨界狀態

當流動達到音速（ $Ma=1$ ）時，稱為臨界狀態。此時：

{\frac {p^{*}}{p_{0}}}=\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\approx 0.528

（空氣中）

{\frac {\rho ^{*}}{\rho _{0}}}=\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}\approx 0.634

{\frac {T^{*}}{T_{0}}}={\frac {2}{\gamma +1}}\approx 0.833

其中上標 * 表示臨界狀態參數。

面積-速度關係

對於一維定常等熵流動，連續性方程和能量方程結合得到：

{\frac {dA}{A}}={\frac {dv}{v}}(Ma^{2}-1)

這個關係表明：

亞音速流動（ $Ma<1$ ）：收縮管道加速，擴張管道減速
超音速流動（ $Ma>1$ ）：收縮管道減速，擴張管道加速
音速狀態（ $Ma=1$ ）：必須在喉部（最小截面）達到

拉瓦爾噴管

拉瓦爾噴管（Laval nozzle）是實現超音速流動的經典裝置，由收縮段、喉部和擴張段組成。流動過程為：

入口亞音速流動在收縮段加速
喉部達到音速（ $Ma=1$ ）
擴張段繼續加速至超音速

噴管出口馬赫數由面積比決定：

{\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{Ma}}\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}Ma^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}

其中 $A^{*}$ 為喉部面積。

工程應用

航空航天

飛機設計：跨音速飛行時的激波阻力
火箭發動機：拉瓦爾噴管優化設計
超音速導彈：氣動加熱與結構設計

能源工程

燃氣輪機：壓氣機和渦輪中的可壓縮流動
蒸汽輪機：高速蒸汽流動分析
風洞實驗：高速流場模擬

其他領域

爆炸力學：衝擊波傳播
氣動聲學：高速流動噪聲
天體物理：恆星風和噴流

歷史發展

馬赫數以奧地利物理學家恩斯特·馬赫（Ernst Mach, 1838-1916）命名。他在19世紀末通過實驗觀察首次記錄了超音速彈丸產生的激波現象。

20世紀初，路德維希·普朗特（Ludwig Prandtl）建立了邊界層理論，為可壓縮流動研究奠定基礎。1929年，瑞典工程師卡爾·古斯塔夫·德拉瓦爾（Carl Gustaf de Laval）發明的收縮-擴張噴管使超音速流動的工程應用成為可能。

二戰期間，可壓縮流體力學在噴氣式飛機和火箭技術中得到快速發展。冷戰時期的航天競賽進一步推動了高超音速流動的研究。

參見