等離子物理學/碰撞過程與輸運理論

導論

• 本章討論庫侖碰撞、Fokker–Planck 描述與經典/新古典輸運系數。
• 目標：掌握碰撞頻率、擴散與導熱、跨磁面輸運的主要機制。

碰撞頻率

• 電子-電子：$\nu _{ee}\sim {\frac {n_{e}e^{4}\ln \Lambda }{4\pi \varepsilon _{0}^{2}m_{e}^{2}v^{3}}}$
• 電子-離子：$\nu _{ei}\sim {\frac {n_{i}Z^{2}e^{4}\ln \Lambda }{4\pi \varepsilon _{0}^{2}m_{e}^{2}v^{3}}}$
• 其中 $\ln \Lambda$ 為庫侖對數

Fokker–Planck 方程

• 一般形式：${\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla f+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {v} }f=C[f]$
• 碰撞算子近似為漂移-擴散型：$C[f]=\nabla _{\mathbf {v} }\cdot (\mathbf {A} f+\mathbf {D} \cdot \nabla _{\mathbf {v} }f)$
• $\mathbf {A}$ 為拖曳系數，$\mathbf {D}$ 為速度空間擴散張量

Spitzer 電導

• 經典電導：$\sigma \propto T_{e}^{3/2}/(Z\ln \Lambda )$
• 電阻率 $\eta =1/\sigma$ 決定歐姆耗散與磁擴散

熱傳導

• 平行於磁場：電子熱導率大，$\kappa _{\parallel }\gg \kappa _{\perp }$
• 垂直於磁場：迴旋束縛導致熱通量受限

粘性與動量傳輸

• Braginskii 張量粘性在強磁化下呈各向異性
• 平行、跨磁面、霍爾分量分別作用於不同尺度

經典輸運

• 微觀庫侖散射導致的跨磁面擴散與導熱
• 與磁場強度、碰撞頻率、粒子能量有關

新古典輸運

• 環形幾何與漂移軌道結構導致額外輸運通道
• 粒子軌道分型：banana、superbanana、plateau 等
• 不同碰撞率區間產生不同標度律

源項與沉積

• 加熱與電流驅動改變分布函數與輸運系數
• 注入束與RF 耦合對密度與溫度剖面的影響

異常輸運

• 湍流引起的增強擴散遠超新古典預測
• 漂移波湍流與微不穩定性主導跨磁面通量

多尺度耦合

• 碰撞時間尺度與湍流時間尺度交織
• 需要廣義輸運模型耦合源/匯、壁相互作用

診斷與反演

• 通過熱脈衝實驗反演熱導率
• 通過電阻衰減測得電導與電流擴散時間
• 速度分辨診斷獲取碰撞頻率與拖曳效應

數值實現

• 求解Fokker–Planck 的矩方法與有限差分
• 與MHD/PIC 聯合求解進行多物理耦合
• 使用Monte Carlo 碰撞模型（如Binary Collision Approximation）

常見誤區

• 將異常輸運歸因於碰撞而非湍流
• 忽略幾何效應導致新古典估算失真
• 在強磁化下誤用各向同性粘性系數

小練習

1. 寫出電子-離子碰撞頻率的量級表達式並解釋庫侖對數的作用
2. 說明Spitzer 電導與溫度的標度關係
3. 討論環形幾何如何導致banana 軌道與新古典輸運
4. 設計熱脈衝實驗估算平行熱導率
5. 比較經典與異常輸運的主導機制