經典力學/中心力與有效勢

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中心力與有效勢

• 中心力定義：力僅依賴距離$r$且指向徑向，即$𝐅(r)=F(r)\widehat{𝐫}$；對應勢能$U(r)$滿足$𝐅=-\mathrm{\nabla }U(r)$。

• 角動量守恆：在中心力下$𝐋=𝐫\times 𝐩$守恆，軌跡位於一平面；設角動量大小$L$為常數。

• 有效勢：徑向動力學可寫成一維問題，定義$U_{\text{eff}}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2m{r}^2}$；第二項為離心勢壘，防止粒子靠近中心。

• 徑向方程：能量守恆$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+U_{\text{eff}}(r)$，轉折點滿足$U_{\text{eff}}(r)=E$。

• 圓軌道與穩定性：圓軌道半徑$r_0$需滿足$\frac{d{U}_{\text{eff}}}{dr}{|}_{r_0}=0$；穩定性取決於$\frac{d^2{U}_{\text{eff}}}{d{r}^2}{|}_{r_0}>0$。

練習

1. 對$U(r)=-\frac{k}{r}$，寫出$U_{\text{eff}}(r)$並求穩定圓軌道半徑$r_0$關於$E,L$的關係。
2. 對斥力勢$U(r)=+\frac{k}{r}$，討論是否存在束縛軌道與穩定圓軌道。