經典力學/剛體轉動與歐拉角

陀螺儀進動的示意圖，其運動由歐拉角描述。這種裝置是第一個通過剛體動力學解析其行為的經典系統。

　　在組成經典力學的物理對象中，最複雜的就是剛體。在課本上，剛體被稱為轉動力學的主要研究對象，這是為什麼呢？通過這一節的學習，我們將會發現其中的奧秘。物理中有一句話，叫做"對稱性決定守恆律"，斯言妙哉！在剛體中，就是這樣。因為剛體有着多種多樣的轉動自由度，使得它能夠具有多樣的運動模式，在力學系統中發揮着極大的作用，所以它才被稱為轉動力學的主要研究對象。
　　剛體（Rigid body）是一種理想化的物理模型，其基本特徵是形變可忽略（Negligible deformation）。一個剛體的運動由質心的平動和繞質心的轉動兩部分組成。在描述轉動時，我們需要三個獨立的角度參數來完整刻畫剛體的空間取向，這三個角度就是歐拉角（Euler angles）。在自然界中，剛體的轉動形式有無窮多種，但在經典力學中，歐拉角的定義方式有多種約定，最常用的是ZXZ約定和ZYZ約定。
　　那麼，簡簡單單的三個角度是如何完整描述剛體取向的呢？這和它的組合方式有關。歐拉角的定義方法是，首先繞固定坐標系的$z$軸旋轉角度$\alpha$（進動角），然後繞新坐標系的$x'$軸旋轉角度$\beta$（章動角），最後繞體坐標系的$z''$軸旋轉角度$\gamma$（自轉角），依次完成三次旋轉，就能將剛體從初始位置轉到任意取向。其中連接這三次旋轉的數學工具叫旋轉矩陣。以此類推，三個歐拉角對應三個旋轉矩陣，三個矩陣的乘積構成總旋轉矩陣。並且，我們會發現一個規律：旋轉矩陣的行列式永遠等於1，且矩陣的逆等於其轉置。不過，我們還要考慮一種特殊的情況，就是當章動角$\beta =0$或$\pi$時，進動角和自轉角的作用重合，此時歐拉角表示出現奇異性（萬向鎖問題）。此時，我們就會發現，需要改用四元數等其他表示方法。
　　剛體的角速度向量可以通過歐拉角及其時間導數表示。角速度在體坐標系中的三個分量為：$\omega _{x}={\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma$，$\omega _{y}={\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma$，$\omega _{z}={\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}$。在剛體內，每個質元的角速度相同；描述轉動時，不同歐拉角速率的組合方式千變萬化；描述複雜運動時，角速度向量的方向及大小千差萬別。這就是剛體運動複雜性的原因。
　　剛體的轉動慣量張量能被外力矩、角加速度、進動等因素改變，導致運動狀態變化，但是在無外力矩情況下角動量守恆。如誤將剛體簡化為質點會導致轉動描述錯誤，是因為忽略了轉動自由度，會丟失角動量信息，使模型失效。可以先建立剛體坐標系、計算轉動慣量張量，然後應用歐拉方程進行求解，因為歐拉方程包含了完整的轉動動力學信息，能正確描述剛體運動。
　　一些剛體具有對稱結構，如陀螺、飛輪、衛星的主要部件是對稱剛體；一些剛體具有能量存儲功能，如飛輪可以儲存轉動動能；一些剛體具有穩定功能，大部分陀螺儀都是剛體；一些剛體具有傳遞運動的功能，調節機械系統的運轉，如齒輪；一些剛體具有導航功能，如航天器的姿態控制系統，能抵禦外力矩對姿態的擾動。
　　值得關注的是，剛體的轉動狀態並不是一成不變的。在自由轉動時，只有繞主軸（最大或最小轉動慣量對應的軸）的轉動是穩定的，繞中間主軸的轉動是不穩定的，這就是著名的網球拍定理（Tennis racket theorem）。

歐拉角的數學表示

　　設固定坐標係為$(x,y,z)$，體坐標係為$(x'',y'',z'')$，三次旋轉依次為：

1. 繞$z$軸旋轉$\alpha$（進動）： $R_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

2. 繞新$x'$軸旋轉$\beta$（章動）： $R_{x'}(\beta )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}$

3. 繞體$z''$軸旋轉$\gamma$（自轉）： $R_{z''}(\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

　　總旋轉矩陣為：$R=R_{z}(\alpha )R_{x'}(\beta )R_{z''}(\gamma )$。

歐拉動力學方程

　　在體坐標系（主軸坐標系）中，剛體的轉動由歐拉方程描述：

$I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}=M_{1}$
$I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}=M_{2}$
$I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}=M_{3}$

　　其中$I_{1},I_{2},I_{3}$為主轉動慣量，$\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$為角速度分量，$M_{1},M_{2},M_{3}$為外力矩分量。當$M_{i}=0$時，系統角動量守恆，剛體做自由轉動。

應用實例

• 陀螺儀：利用角動量守恆原理，保持自轉軸方向穩定，用於導航和姿態測量。
• 衛星姿態控制：通過反作用輪或控制力矩陀螺調整歐拉角，實現衛星定向。
• 剛體擺：如復擺、物理擺，其運動由轉動慣量和重力矩共同決定。
• 分子轉動：量子力學中分子的轉動能級與經典剛體轉動模型相關。