經典力學/哈密頓雅可比方程

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哈密頓-雅可比方程

• 變分到偏微分：尋找主函數 $S(\mathbf {q} ,t)$ 使得 $p_{j}={\dfrac {\partial S}{\partial q_{j}}}$。哈密頓-雅可比方程為 $H\!\left(\mathbf {q} ,{\dfrac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\dfrac {\partial S}{\partial t}}=0$。

• 可分解形式：對定常系統設 $S(\mathbf {q} ,t)=W(\mathbf {q} )-Et$，得定常方程 $H\!\left(\mathbf {q} ,{\dfrac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=E$。

• 完全積分與常數：若能找到含有 $n$ 個獨立常數的完全積分（$n$ 為自由度數），則可通過正則變換將系統化為平凡的動作-角坐標。

• 與幾何光學類比：$S$ 類似光學的費馬作用；H-J方法將力學軌跡轉化為求解等位相面的偏微分問題。

• 示例（中心力）：在球坐標中分離變量，$S(r,\theta ,\phi ,t)=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+L_{z}\phi -Et$，徑向部分滿足有效勢關係。

練習

1. 對一維諧振子$H={\tfrac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}kq^{2}$，寫出定常H-J方程並嘗試求$W(q)$。
2. 在中心力$U(r)$中，用分離變量法寫出$S$的結構並給出可分離常數的物理意義。