經典力學/多粒子系統質心與相對坐標

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多粒子系統：質心與相對坐標

• 質心：$\mathbf {R} ={\dfrac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}$，$M=\sum _{i}m_{i}$；總動量 $\mathbf {P} =M{\dot {\mathbf {R} }}$。

• 質心運動：$M{\ddot {\mathbf {R} }}=\sum \mathbf {F} _{\text{外}}$；若外力為零，${\dot {\mathbf {R} }}$ 為常量。

• 兩體相對坐標：$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$，約化質量 $\mu ={\dfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$，相對運動滿足 $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )$。

• 能量分解：$K={\tfrac {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}$；中心力問題可化為一體在有效勢 $U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}$ 中運動。

• 多體推廣：採用雅可比坐標逐層剝離整體平動，自由度組織更利於碰撞鏈、聚合/解體與數值積分。

• 應用

1. 完全非彈性：碰後共同速度 $\mathbf {v} _{\text{cm}}={\dfrac {\mathbf {P} }{M}}$。
2. 軌道力學：行星—衛星系統等效為約化質量在中心勢 $U(r)$ 下的相對運動。
3. 分子振動：分離平動與轉動後，剩餘為振動自由度用於光譜分析。

練習

1. 給定$m_{1},m_{2},\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}$，計算$\mathbf {R} ,\mathbf {P} ,\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}$。
2. 寫出一組三體雅可比坐標的定義，並說明其在數值積分中的優勢（定性）。