經典力學/循環坐標與第一積分

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循環坐標與第一積分

• 循環坐標定義：若$L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$不顯含某坐標$q_{k}$，稱$q_{k}$為循環坐標；對應的廣義動量$p_{k}={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$守恆。

• 能量第一積分：若$L$不顯含時間$t$，則哈密頓量$H=\sum _{j}p_{j}{\dot {q}}_{j}-L$守恆，等於機械能（保守系統）。

• 對稱與守恆：諾特定理關聯連續對稱與守恆量；空間平移對應動量守恆，旋轉對應角動量守恆，時間平移對應能量守恆。

• 例：中心力問題中極角為循環坐標，角動量$p_{\phi }=L_{z}$守恆；徑向有效勢分析可化簡問題維度。

• 坐標策略：優先選擇使$L$簡潔且引入循環坐標的參數化，以便直接讀出守恆量並降維。

練習

1. 在中心力$U(r)$中，用極坐標寫$L$並證明$\phi$為循環坐標與$p_{\phi }$守恆。
2. 對雙擺，討論何種近似或邊界情形下可出現近似循環坐標並給出相應的近似守恆量。