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曲線運動與曲率

曲線運動描述質點沿一般空間曲線的運動學性質。核心量包括速度、加速度在自然標架上的分解，以及曲率與曲率半徑對方向改變速率的刻畫。

自然標架（Frenet 標架）

給定可微曲線位置向量$\mathbf {r} (t)$，速率$v=\|{\dot {\mathbf {r} }}\|$，單位切向量${\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\dot {\mathbf {r} }}/v$。自然標架由

1. 切向：${\hat {\boldsymbol {\tau }}}$（沿運動方向），
2. 法向：${\hat {\mathbf {n} }}$（指向曲率中心），
3. 若在空間曲線，還可定義撓向${\hat {\mathbf {b} }}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}\times {\hat {\mathbf {n} }}$

組成，構成右手正交基。

曲率與曲率半徑

曲率$\kappa$刻畫曲線轉向的強弱，定義為單位切向量對弧長的變化率：

1. $\kappa =\left\|{\dfrac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\tau }}}}{\mathrm {d} s}}\right\|$，曲率半徑$\rho ={\dfrac {1}{\kappa }}$。
2. 以時間參數表示：$\kappa ={\dfrac {\|{\hat {\boldsymbol {\tau }}}'(t)\|}{\mathrm {d} s/\mathrm {d} t}}={\dfrac {\|{\dot {\hat {\boldsymbol {\tau }}}}\|}{v}}$。
3. 平面曲線$\mathbf {r} =(x(t),y(t))$時的顯式表達：

$\displaystyle \kappa ={\frac {|x'\,y''-y'\,x''|}{\left((x')^{2}+(y')^{2}\right)^{3/2}}}$，其中撇號為對$t$求導。

速度與加速度的自然分解

速度總與切向一致：$\mathbf {v} =v\,{\hat {\boldsymbol {\tau }}}$。加速度可分解為切向與法向分量：

1. $\mathbf {a} =\underbrace {\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}} _{a_{\tau }}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}+\underbrace {v^{2}\kappa } _{a_{n}}\,{\hat {\mathbf {n} }}=a_{\tau }\,{\hat {\boldsymbol {\tau }}}+a_{n}\,{\hat {\mathbf {n} }}$。
2. 物理意義：$a_{\tau }$改變速率大小；$a_{n}$只改變方向，其大小與彎曲程度和速率平方成正比：$a_{n}={\dfrac {v^{2}}{\rho }}$。

常見運動的特例

• 勻速圓周運動（半徑$R$，角速度$\omega$）：

1. $v=R\omega$，$\kappa =1/R$；

2. $\mathbf {v} =R\omega \,{\hat {\boldsymbol {\tau }}}$，$\mathbf {a} =-R\omega ^{2}\,{\hat {\mathbf {n} }}$（指向圓心）。

• 平面曲線極坐標$(r,\theta )$：當$r=r(\theta )$且以角度為參數時，曲率可寫為

$\displaystyle \kappa ={\frac {|r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''|}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{3/2}}}$，其中撇號為對$\theta$求導。

• 自由落體疊加水平拋（拋物線）：

1. 軌跡$y(x)=x\tan \alpha -{\dfrac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}\,x^{2}$；

2. 其曲率（關於$x$的函數）：$\displaystyle \kappa ={\frac {|y''|}{\left(1+(y')^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {\dfrac {g}{v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}{\left(1+\tan ^{2}\alpha -{\dfrac {gx}{v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}\right)^{3/2}}}$。

弧長、轉角與總曲率

1. 弧長：$s(t)=\int _{t_{0}}^{t}\|{\dot {\mathbf {r} }}(\tau )\|\,\mathrm {d} \tau$。
2. 轉角：切向與參考方向的夾角$\phi$滿足${\dfrac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} s}}=\kappa$；總轉角為$\Delta \phi =\int \kappa \,\mathrm {d} s$。
3. 對閉合平面曲線，若無自交，則總曲率為$2\pi$（定向一致）。

應用提示

1. 需快速判斷「轉得有多急」：看$\kappa$或$a_{n}=v^{2}\kappa$。
2. 已知速度純量$v(t)$與曲率$\kappa (s)$，可通過${\dfrac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\tau }}}}{\mathrm {d} t}}=v\kappa \,{\hat {\mathbf {n} }}$恢復方向演化，再積分得軌跡（結合初始條件）。
3. 在數值計算中，避免差分噪聲：優先用參數樣條或平滑導數再評估$\kappa$。