經典力學/正則方程與泊松括號

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正則方程與泊松括號

• 哈密頓正則方程：${\dot {q}}_{j}={\dfrac {\partial H}{\partial p_{j}}}$，${\dot {p}}_{j}=-{\dfrac {\partial H}{\partial q_{j}}}$。這組一階方程在相空間上給出時間流。

• 泊松括號定義：對相空間函數 $f(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ 與 $g(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$，$\{f,g\}=\sum _{j}\left({\dfrac {\partial f}{\partial q_{j}}}{\dfrac {\partial g}{\partial p_{j}}}-{\dfrac {\partial f}{\partial p_{j}}}{\dfrac {\partial g}{\partial q_{j}}}\right)$。

• 時間演化：${\dfrac {df}{dt}}=\{f,H\}+{\dfrac {\partial f}{\partial t}}$。特別地，守恆量滿足 $\{f,H\}=0$ 且 $\partial f/\partial t=0$。

• 基本對易關係：$\{q_{i},q_{j}\}=0$，$\{p_{i},p_{j}\}=0$，$\{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}$，體現辛結構。

• 雅可比恆等式：泊松括號滿足 $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$，確保代數的一致性。

練習

1. 對$H={\tfrac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}kq^{2}$，用正則方程求$q(t),p(t)$並驗證周期運動。
2. 證明${\dfrac {df}{dt}}=\{f,H\}+{\dfrac {\partial f}{\partial t}}$，並用此式證明能量守恆條件。