經典力學/簡諧振動與相位

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簡諧振動與相位

• 方程與解：一維簡諧振動滿足 $m\ddot{x}+kx=0$，通解 $x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$，其中 $\omega =\sqrt{k/m}$。

• 相位與初值：相位 $\varphi$ 由初始條件確定；$x(0)=x_0,\dot{x}(0)=v_0$ 給出 $A=\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega {)}^2}$、$\varphi =\arctan (-v_0/(\omega x_0))$（注意象限）。

• 能量：總能量 $E=\frac{1}{2}k{A}^2$，動能 $K=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$、勢能 $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ 在周期內互換但 $E$ 不變。

• 相位圖：$(x,\dot{x})$ 相圖為橢圓 $(x/A{)}^2+(\dot{x}/\omega A{)}^2=1$，逆時針勻速運動。

• 複數表示：令 $x(t)=\mathrm{\Re }\{\tilde{A}{e}^{i\omega t}\}$，線性疊加更便捷；相位差通過復幅的輻角表示。

練習

1. 已知$x(0)=x_0,\dot{x}(0)=0$，寫出$x(t)$並給出相位$\varphi$。
2. 畫出幅值為$A$的相位圖橢圓方程，並標註最大速度。