經典力學/軌道方程與圓錐曲線

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軌道方程與圓錐曲線

• 比奈方程（牛頓中心力）：令$u=1/r$，在勢$U(r)$下徑向方程轉成${\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\dfrac {m}{L^{2}}}{\dfrac {d}{du}}U\!\left({\dfrac {1}{u}}\right)$。

• 反平方力軌跡：對$U(r)=-{\dfrac {k}{r}}$，解得$r(\theta )={\dfrac {\ell }{1+e\cos \theta }}$，為圓錐曲線；$e$為偏心率，$\ell ={\dfrac {L^{2}}{mk}}$為半通徑。

• 軌道分類：$0\leq e<1$為橢圓（束縛），$e=1$為拋物線（臨界逃逸），$e>1$為雙曲線（非束縛）。

• 幾何參數：橢圓半長軸$a$與$E$、$L$關係為$E=-{\dfrac {mk^{2}}{2L^{2}}}(1-e^{2})$或等價表達；半通徑與$a,e$滿足$\ell =a(1-e^{2})$。

• 近心點與遠心點：最小半徑$r_{\min }={\dfrac {\ell }{1+e}}$，最大半徑$r_{\max }={\dfrac {\ell }{1-e}}$（橢圓情形）。

練習

1. 從比奈方程出發，推導反平方力下的$r(\theta )={\dfrac {\ell }{1+e\cos \theta }}$。
2. 已知$E,L,k,m$，寫出偏心率$e$與半通徑$\ell$的表達式並判斷軌道類型。