經典力學/轉動慣量與主軸

剛體轉動與歐拉角

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經典力學 轉動慣量與主軸

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角動量守恆與對稱性

轉動慣量的定義

　　轉動慣量（Moment of inertia）是剛體轉動慣性的量度，類比於質量在平動中的作用。對於繞固定軸轉動的剛體，轉動慣量定義為：

$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$

　　其中$m_i$為第$i$個質元的質量，$r_i$為該質元到轉軸的垂直距離。對於連續分布的剛體，求和變為積分：

$I=\int r^{2}dm=\int \rho (𝐫)r_{\perp }^{2}dV$

　　其中$\rho (𝐫)$為密度分布，$r_{\perp }$為到轉軸的垂直距離。
　　轉動慣量的大小取決於質量分布和轉軸位置。同一剛體繞不同軸轉動，轉動慣量不同。

慣性張量

　　對於三維空間中的剛體，轉動慣量不再是單一純量，而是一個二階張量——慣性張量（Inertia tensor）$𝐈$，其矩陣元素為：

$I_{ij}=\int \rho (𝐫)(r^2{\delta }_{ij}-r_i{r}_j)dV$

　　其中$r_i,r_j$為位置向量的分量，${\delta }_{ij}$為克羅內克符號。慣性張量是實對稱矩陣，具體形式為：

$𝐈=\left(\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{xy}& I_{yy}& -I_{yz}\\ -I_{xz}& -I_{yz}& I_{zz}\end{array}\right)$

　　對角元$I_{xx},I_{yy},I_{zz}$稱為轉動慣量，非對角元$I_{xy},I_{xz},I_{yz}$稱為慣性積（Products of inertia）。
　　角動量與角速度的關係由慣性張量聯繫：$𝐋=𝐈𝝎$。

主軸與主轉動慣量

　　由於慣性張量是實對稱矩陣，根據線性代數理論，必存在一組正交坐標系（主軸坐標系），使得慣性張量對角化：

${𝐈}_{\text{主}}=\left(\begin{array}{ccc}{I}_1& 0& 0\\ 0& I_2& 0\\ 0& 0& I_3\end{array}\right)$

　　對角元$I_1,I_2,I_3$稱為主轉動慣量（Principal moments of inertia），對應的坐標軸稱為主軸（Principal axes）。主軸是慣性張量的特徵向量，主轉動慣量是對應的特徵值。
　　在主軸坐標系中，角動量與角速度平行：$𝐋=I_i𝝎$（無求和），運動方程大大簡化。這就是主軸定理（Principal axis theorem）的核心內容。

對稱剛體的主軸

　　對於具有對稱性的剛體，主軸的確定更為簡單：

• 球對稱剛體（如均勻球體）：任意過質心的軸都是主軸，$I_1=I_2=I_3$。
• 軸對稱剛體（如圓柱、圓盤）：對稱軸為一主軸，垂直於對稱軸的任意兩正交軸為另外兩主軸，$I_1=I_2\ne I_3$。
• 平面剛體（如薄板）：垂直於平面的軸為一主軸，平面內兩正交軸為另外兩主軸。

平行軸定理與垂直軸定理

　　平行軸定理（Parallel axis theorem）：設剛體繞過質心的軸的轉動慣量為$I_{\text{cm}}$，則繞與該軸平行、距離為$d$的軸的轉動慣量為：

$I=I_{\text{cm}}+M{d}^2$

　　其中$M$為剛體總質量。
　　垂直軸定理（Perpendicular axis theorem）：對於平面剛體，若$x,y$軸在平面內，$z$軸垂直於平面，則：

$I_z=I_x+I_y$

常見剛體的轉動慣量

剛體類型	轉軸位置	轉動慣量
細棒（長度$L$，質量$M$）	過中心，垂直於棒	$\frac{1}{12}M{L}^2$
細棒	過端點，垂直於棒	$\frac{1}{3}M{L}^2$
均勻圓盤（半徑$R$，質量$M$）	過中心，垂直於盤面	$\frac{1}{2}M{R}^2$
均勻球體（半徑$R$，質量$M$）	過球心	$\frac{2}{5}M{R}^2$
均勻球殼（半徑$R$，質量$M$）	過球心	$\frac{2}{3}M{R}^2$
均勻圓柱（半徑$R$，質量$M$）	沿對稱軸	$\frac{1}{2}M{R}^2$

主軸的物理意義

　　在主軸坐標系中，剛體的轉動最為"純粹"：角動量與角速度同向，不產生進動或章動。若剛體繞非主軸轉動，角動量與角速度不平行，會產生複雜的耦合運動。
　　自由轉動的剛體，只有繞最大或最小主轉動慣量對應的主軸轉動是穩定的，繞中間主轉動慣量對應的主軸轉動是不穩定的（網球拍定理）。

應用實例

• 陀螺儀：利用軸對稱剛體的主軸特性，保持角動量方向穩定。
• 衛星姿態控制：通過調整主軸方向和轉速，實現衛星定向。
• 分子轉動光譜：分子的轉動能級與主轉動慣量相關，可通過光譜測量確定分子結構。
• 機械設計：平衡轉子、減少振動，需使轉軸儘量接近主軸。

習題

1. 計算長度為$L$、質量為$M$的均勻細棒，繞過端點且垂直於棒的軸的轉動慣量。
2. 證明平行軸定理。
3. 求均勻立方體（邊長$a$，質量$M$）繞過中心、平行於某一邊的軸的轉動慣量。
4. 一剛體的慣性張量為$𝐈=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 3& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$（單位：${\text{kg·m}}^2$），求主轉動慣量和主軸方向。