經典力學/阻尼與受迫振動

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阻尼與受迫振動

• 阻尼自由振動：$m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0$。欠阻尼解 $x(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\cos(\omega _{d}t+\phi )$，其中 $\omega _{0}={\sqrt {k/m}}$，$\zeta =c/(2{\sqrt {km}})$，$\omega _{d}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$。

• 受迫穩態：$m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\cos \omega t$ 的穩態響應幅值 $X(\omega )={\dfrac {F_{0}}{\sqrt {(k-m\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}}}}$，相位差 $\tan \delta ={\dfrac {c\omega }{k-m\omega ^{2}}}$。

• 初始瞬態：總解為穩態解與齊次解相加；瞬態隨 $e^{-\zeta \omega _{0}t}$ 衰減並最終僅剩穩態。

• 阻尼分類：$\zeta <1$ 欠阻尼，$\zeta =1$ 臨界阻尼（最快無振盪回歸），$\zeta >1$ 過阻尼（無振盪緩慢回歸）。

• 能量耗散：功率損失平均為 $\langle P\rangle =c\langle {\dot {x}}^{2}\rangle$；穩態時驅動功率等於阻尼耗散。

練習

1. 給定$m,k,c$與$x(0)=x_{0},{\dot {x}}(0)=v_{0}$，寫出欠阻尼自由響應的參數$A,\phi$。
2. 推導受迫穩態的幅頻特性$X(\omega )$與相頻特性$\delta (\omega )$的極限：$\omega \to 0$與$\omega \to \infty$。