自然科學/功 動能

功

機械功

功，也稱之為機械功，任何一個作用於物體的力${\boldsymbol {F}}$所做的功，被定義為力與物體位移的內積，即功

$$W={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {s}}$$

首先，我們僅考慮恆力的情形，即上式中的${\boldsymbol {F}}$保持恆定不變。記${\boldsymbol {F}}$與${\boldsymbol {s}}$的夾角為$\theta$，在一段時間後，物體發生了位移${\boldsymbol {s}}$，可能存在如下情形：

1. 若$0\leqslant \theta <{\frac {\pi }{2}}$，$W>0$，稱${\boldsymbol {F}}$做正功
2. 若$\theta ={\frac {\pi }{2}}$，$W=0$，稱${\boldsymbol {F}}$不做功
3. 若${\frac {\pi }{2}}<\theta \leqslant \pi$，$W<0$，稱${\boldsymbol {F}}$做負功

根據公式，可以將功理解為物體受到的力的大小與物體在該力方向上的位移大小（當與力方向相反時，值為負值）的乘積。

機械功的物理意義

可能講到這裏你已經不願意看到更多的公式、符號描述，我們即將對上述規定做解釋，讓你理解做正功、不做功、做負功的力究竟帶來了什麼樣的作用效果。請注意，以下討論的${\boldsymbol {F}}$均為物體收到的合力，物體受到的每一個力的作用效果，可以通過一個合力的效果來替代，但分開研究每一個力，可能不能得到明顯的效果，但是實際上它們與合力的效果是相同的。

在論述這個問題之前，我們需要知道，任何與物體運動方向不平行的合力，都會使物體的運動方向瞬間改變，這使得問題難以研究。為了規避這個問題，我們決定直接採用我們已經學過的運動，來幫助理解。我們考慮一下我們已經學過的圓周運動，做勻速圓周運動的物體，始終受到一個方向不斷變化，但永遠與運動方向垂直、指向軌跡圓圓心的力——向心力，因此我們可以得出，之所以我們認為${\boldsymbol {F}}$與${\boldsymbol {s}}$的夾角$\theta ={\frac {\pi }{2}}$時，${\boldsymbol {F}}$不做功，是因為${\boldsymbol {F}}$沒能改變速度的大小。

現在我們回過頭考慮下，$\theta =0$時，${\boldsymbol {F}}$提供的加速度與物體的運動速度方向相同，經過一段時間發生位移${\boldsymbol {s}}$後，物體的運動速率增大；而當$\theta =\pi$時，${\boldsymbol {F}}$提供的加速度方向與物體的初始運動方向相反，假設這期間物體的運動方向方向沒有改變，物體的運動速率減小。

對於情形1，${\boldsymbol {F}}$總可以分解為與${\boldsymbol {s}}$夾角為$0$的${\boldsymbol {F_{\parallel }}}$以及與${\boldsymbol {s}}$夾角為${\frac {\pi }{2}}$的${\boldsymbol {F_{\perp }}}$，而${\boldsymbol {F_{\perp }}}$不會影響物體運動的速率，${\boldsymbol {F_{\parallel }}}$會使物體運動的速率增大，因此${\boldsymbol {F}}$在物體經過位移${\boldsymbol {s}}$後使物體的運動速率增大。

對於情形2，${\boldsymbol {F}}$總可以分解為與${\boldsymbol {s}}$夾角為$\pi$的${\boldsymbol {F_{\parallel }}}$以及與${\boldsymbol {s}}$夾角為${\frac {\pi }{2}}$的${\boldsymbol {F_{\perp }}}$，而${\boldsymbol {F_{\perp }}}$不會影響物體運動的速率，${\boldsymbol {F_{\parallel }}}$會使物體運動的速率減小，因此${\boldsymbol {F}}$在物體經過位移${\boldsymbol {s}}$後使物體的運動速率減小。

示例圖1 平拋運動

我們用拋物運動來說明做功。考慮示例圖1所示的平拋運動（物體被拋出時，速度方向為水平方向），初速度大小為$v_{0}$，經過時間$t$後，可以計算得到物體豎直方向的位移為

$${\boldsymbol {s_{\perp }}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {g}}t^{2}$$

因此物體的的位移

$${\boldsymbol {s}}=(v_{0}t,{\frac {1}{2}}gt^{2})$$

由於重力始終為

$${\boldsymbol {G}}=m{\boldsymbol {g}}$$

因此在$[0,t]$這段時間內，重力做功為

$${\begin{aligned}W&={\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {s}}\\&=(0,mg)\cdot (v_{0}t,{\frac {1}{2}}gt^{2})\\&={\frac {1}{2}}mg^{2}t^{2}\end{aligned}}$$

合力與分力的功

現在我們來看一下合力與分力做功的關係，對於任何一個力${\boldsymbol {F}}$，假設有

$${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F_{1}}}+{\boldsymbol {F_{2}}}+\cdots +{\boldsymbol {F_{n}}}$$

根據功的定義，任何一個分力做功

$$W_{i}={\boldsymbol {F_{i}}}\cdot {\boldsymbol {s}}$$

因此有

$${\begin{aligned}W&={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {s}}\\&=({\boldsymbol {F_{1}}}+{\boldsymbol {F_{2}}}+\cdots +{\boldsymbol {F_{n}}})\cdot {\boldsymbol {s}}\\&=({\boldsymbol {F_{1}}}\cdot {\boldsymbol {s}})+({\boldsymbol {F_{2}}}\cdot {\boldsymbol {s}})+\cdots +({\boldsymbol {F_{n}}}\cdot {\boldsymbol {s}})\\&=W_{1}+W_{2}+\cdots +W_{n}\end{aligned}}$$

因此合力做功等於每一個分力做功之和。

動能

任何一個運動的物體，我們都認為它具有一定的動能，物體在參考系下的動能被定義為

$$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$$

其中$v$為物體相對於參考系的速度大小。同物體的動能側面反映了物體所具有的維持其慣性的能量。

你應該注意到，我們這裏再一次強調了「在參考系下」，因為物體在不同參考下下的動能也是不一樣的。在今後，如果不特殊說明，我們表述的物理量仍是同一慣性參考系下的。

動能定理

我們首先看一段數學推導。我們的推導在二維參考系中，但是讀者可以用同樣的方式將結論推廣到任意維度的參考系。

對於任意一個物體，假設在$t_{0}$時刻的速度為

$${\boldsymbol {v_{0}}}=(v_{x},v_{y})$$

此時物體具有的動能為

$${\begin{aligned}E_{k}&={\frac {1}{2}}m|{\boldsymbol {v_{0}}}|^{2}\\&={\frac {1}{2}}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})\\\end{aligned}}$$

且在$[t0,t1]$這段時間內（記$t=t_{1}-t0$），始終受到恆定的合力

$${\boldsymbol {F}}=(F_{x},F_{y})$$

則這段時間內，物體運動的位移為

$${\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {\boldsymbol {F}}{2m}}t^{2}$$

因此合力做功

$${\begin{aligned}W&={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {s}}\\&={\boldsymbol {v_{0}F}}t+{\frac {({\boldsymbol {F}}t)^{2}}{2m}}\\&=v_{x}F_{x}t+v_{y}F_{y}t+{\frac {F_{x}^{2}t^{2}}{2m}}+{\frac {F_{y}^{2}t^{2}}{2m}}\\\end{aligned}}$$

現在讓我們來看看$t_{1}$時刻物體的動能，我們先計算出此時的速度

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {v_{1}}}&={\boldsymbol {v_{0}}}+{\frac {{\boldsymbol {F}}t}{m}}\\&=(v_{x}+{\frac {F_{x}t}{m}},v_{y}+{\frac {F_{y}t}{m}})\end{aligned}}$$

因此，此時物體的動能為

$${\begin{aligned}E_{k}'&={\frac {1}{2}}m|{\boldsymbol {v_{1}}}|^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv_{x}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{y}^{2}+v_{x}F_{x}t+v_{y}F_{y}t+{\frac {F_{x}^{2}t^{2}}{2m}}+{\frac {F_{y}^{2}t^{2}}{2m}}\end{aligned}}$$

因此有

$$W=E_{k}'-E_{k}$$

對於不斷的合力做功，我們可以將變力看做很多微小位移段上的恆力，於是，綜合起來我們可以得到，動能定理：物體所受到合力所做的功等於物體動能變化量。

動能定理描述了功和動能的關係，是功和動能的橋樑。注意，這裏的「定理"，並非指動能定理是絕對正確地。動能定理是將其背後的定律作為前提條件而推導出的定理，其正確性依賴於牛頓第二定律。

*引力勢能

由於重力只是引力的近似描述，帶來了方便的同時，也帶來了誤差。因此，描述一個物體勢能更加精確的方式是使用引力勢能。引力勢能都是定義在兩個物體之間的。有功的基礎上，引力勢能被定義為引力一個物體A從兩物體A和B距離為0（兩物體處於同一位置）的位置到當前位置，整個過程中引力做功大小。實際上，整個做功的大小與物體產生這段位移的路徑無關，這個結論需要用到微積分才能推導出，在這裏我們直接呈出結論，引力勢能為

$$E_{p}=-{\frac {Gm_{A}m_{B}}{r}}$$

其中$r$為兩個物體間的距離，$m_{A}$、$m_{B}$分別為兩個物體的質量，$G$為萬有引力常量。可見，將兩個物體中的任何一個物體作為參照，另一個物體的引力勢能表達式都是一樣的。

如果你能理解微積分，對於那些直接直線遠離的兩個物體之間的引力勢能，這個公式非常容易理解，因為

$${\begin{aligned}E_{p}&=W\\&=\textstyle \int _{0}^{r}-{\frac {Gm_{A}m_{b}}{x^{2}}}dx\\&=-{\frac {Gm_{A}m_{b}}{r}}\end{aligned}}$$