逆散射變換

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逆散射變換是為解決一些非線性偏微分方程的方法。該方法類似於一種非線性版本的傅立葉變換。

逆散射變換可應用於許多所謂的完全可解模型。包括Korteweg–de Vries方程,非線性薛定諤方程,耦合非線性薛定諤方程,Sine-Gordon方程,Kadomtsev-Petviashvili方程,Toda晶格方程,Ishimori方程,Dym方程等。

逆散射問題可寫成Riemann–Hilbert factorization問題。如此可以推廣到微分算子階數大於2,以及周期性位勢。

方程式的解[編輯]

第一步. 寫下非線性偏微分方程。這通常是來自物理學的研究。

第二步. 準備好隨時間演化的散射系統,其中 Lax pair 包含兩個線性算子,,使得 並且 , 這邊下標 t 表示對時間的偏微分。這邊很重要的參數--特徵值是與時間無關的常數,也就是。這件事情的充分必要條件如下:對取時間微分

代換成

再改寫最右邊項

因此,對, 若且唯若

這就是 Lax 方程式。最簡單的選取是Schrödinger算子:

比較 之後我們得出 。 在適當的選取 Lax pair後,Lax 方程式會是原來的非線性偏微分方程

第三步. 在無窮遠處描述本徵函數(eigenfunctions)的時間演化和相對應的每個特徵值,耗散波函數的系數,反射系數,這三個組成所謂的散射數據。這系統的時間演化是可解的線性常微分方程。

第四步. 解 Gelfand–Levitan–Marchenko 積分方程,這個線性積分方程可以獲得原來的非線性偏微分方程的解。為了做到這一點,需要在所有的散射數據。

範例: Korteweg–de Vries 方程[編輯]

Korteweg–de Vries 方程是一個非線性函數u的偏微分方程;包含兩個實數的變量,空間變量x 和時間變量t

解這個方程式的初值問題 是一個 Schrödinger 方成的特徵值問題

這裏 是包和變數 tx 的未知函數,u 是 Korteweg–de Vries 方程式的解除了已知外,其他未知。 從薛定諤方程,我們得到

也就是說

帶到 會變成只有 的微分方程式,解出 的散射數據。