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有理數與運算

定義與分類

有理數是可以表示為兩個整數之比的數，即形如${\frac {p}{q}}$的數，其中$p,q\in \mathbb {Z}$且$q\neq 0$。所有整數都是有理數（例如$5={\frac {5}{1}}$）。

1. 有理數集合記為$\mathbb {Q}$
2. 若分數${\frac {p}{q}}$滿足$\gcd(p,q)=1$且$q>0$，則稱為最簡分數
3. 正有理數、零、負有理數共同構成$\mathbb {Q}$

• 示例：${\frac {-7}{5}}$、$0$、${\frac {12}{3}}=4$均為有理數
• 非有理數示意（對比）：${\sqrt {2}}$、$\pi$為無理數

基本性質

1. 加、減、乘、除（除零除外）在有理數集合中封閉
2. 交換律：$a+b=b+a,\quad a\times b=b\times a$
3. 結合律：$(a+b)+c=a+(b+c),\quad (a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
4. 分配律：$a(b+c)=ab+ac$
5. 加法逆元與乘法逆元：對任意$a\in \mathbb {Q}$，存在$-a$與（若$a\neq 0$）${\frac {1}{a}}$

• 說明：封閉性保證任何兩有理數運算後仍為有理數

有理數的表示

1. 分數表示：${\frac {p}{q}}$（最簡化，分母約定為正）
2. 帶分數表示：$k{\frac {p}{q}}$，其中$k\in \mathbb {Z}$且$0<p<q$
3. 小數表示：有限小數或循環小數

• 示例：${\frac {1}{4}}=0.25$，${\frac {1}{3}}=0.{\overline {3}}$

運算規則

1. 同分母分數加減：${\frac {a}{m}}\pm {\frac {b}{m}}={\frac {a\pm b}{m}}$
2. 異分母分數加減（通分）：${\frac {a}{m}}\pm {\frac {b}{n}}={\frac {an\pm bm}{mn}}$
3. 乘法：${\frac {a}{m}}\times {\frac {b}{n}}={\frac {ab}{mn}}$
4. 除法（乘以倒數）：${\frac {a}{m}}\div {\frac {b}{n}}={\frac {a}{m}}\times {\frac {n}{b}}={\frac {an}{mb}}\quad (b\neq 0)$

• 通分技巧：優先選擇$\operatorname {lcm} (m,n)$作為公分母以簡化計算
• 約分：若$d=\gcd(a,m)$，則${\frac {a}{m}}={\frac {a/d}{m/d}}$

有理數與大小比較

1. 若$m,n>0$，則${\frac {a}{m}}<{\frac {b}{n}}\iff an<bm$
2. 有限小數與循環小數可轉換為分數後比較
3. 數軸表示：零在原點，正數在右側，負數在左側

• 示例：比較${\frac {2}{5}}$與${\frac {3}{8}}$，因$2\times 8=16<3\times 5=15$不成立，故${\frac {2}{5}}>{\frac {3}{8}}$

循環小數轉分數

1. 設$x=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{k}}}$為長度$k$的循環小數
2. 則$10^{k}x-x$消去循環部分，得到$(10^{k}-1)x$為整數
3. 所以$x={\frac {\text{循环节对应的整数}}{10^{k}-1}}$

• 例：$0.{\overline {3}}={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}$，$0.{\overline {27}}={\frac {27}{99}}={\frac {3}{11}}$

有理數的閉包與域結構（進階）

有理數在加、減、乘、除（零除除外）下構成一個域：

1. 存在加法單位元$0$與乘法單位元$1$
2. 每個元素存在加法逆元與（非零元素）乘法逆元
3. 滿足交換律、結合律與分配律

• 註：域結構為後續代數的基礎概念

應用舉例（概念性）

1. 比例與速率：如速度$v={\frac {s}{t}}$
2. 金融折算：利率與折扣常以分數或百分數表達
3. 測量與誤差：以分數或小數統一尺度