交换代数/整环与域

整环与域

1. 整环的定义与性质

1.1 整环

设 $R$ 是交换幺环。若 $R$ 无零因子且 $R\neq \{0\}$，则称 $R$ 为整环（integral domain）。

即：对任意 $a,b\in R$，若 $ab=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$。

等价刻画：

1. $R\setminus \{0\}$ 在乘法下封闭

1. 消去律成立：$ac=bc$ 且 $c\neq 0$ 蕴含 $a=b$

1. $R$ 可嵌入其分式域

   

   整环结构示意图

表1：整环的例子

环	是否整环	理由
$\mathbb {Z}$	是	无零因子
$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, $n$ 合数	否	有零因子
$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, $p$ 素数	是	实际上是域
$k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$	是	多项式环无零因子
$k[x,y]/(xy)$	否	${\bar {x}}\cdot {\bar {y}}=0$
$\mathbb {Z} [i]$	是	高斯整数无零因子
$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$	是	无零因子但非UFD
$M_{n}(R)$, $n\geq 2$	否	矩阵有零因子

1.2 整环的性质

命题 1.1： 设 $R$ 是整环，则：

1. $R$ 的特征为 0 或素数

1. $R[x]$ 也是整环

1. $R$ 的商域存在且唯一（在同构意义下）

1. 若 $I$ 是 $R$ 的理想，则 $R/I$ 是整环当且仅当 $I$ 是素理想

表2：整环的特征

整环	特征	素子环
$\mathbb {Z}$	0	$\mathbb {Z}$
$\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$	0	$\mathbb {Q}$
$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$	$p$	$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$
$\mathbb {F} _{p}[x]$	$p$	$\mathbb {F} _{p}$
$k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$	${\text{char}}(k)$	$k$
$\mathbb {Z} [i]$	0	$\mathbb {Z}$

1.3 分式域

定理 1.2： 设 $R$ 是整环，则存在域 $K$ 和单同态 $\iota :R\to K$，使得：

1. $K$ 中每个元素可写成 $\iota (a)/\iota (b)$，其中 $a,b\in R,b\neq 0$

1. $K$ 是满足上述性质的最小域

称 $K$ 为 $R$ 的分式域或商域，记作 ${\text{Frac}}(R)$ 或 ${\text{Quot}}(R)$。

分式域构造示意图

表3：常见整环的分式域

整环 $R$	分式域 ${\text{Frac}}(R)$
$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Q}$
$k[x]$	$k(x)$（有理函数域）
$k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$	$k(x_{1},\ldots ,x_{n})$
$\mathbb {Z} [i]$	$\mathbb {Q} [i]$
$\mathbb {R} [x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)$	圆的函数域
$\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$	$\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$

2. 域的定义与性质

2.1 域

设 $F$ 是交换幺环。若 $F\neq \{0\}$ 且 $F$ 中每个非零元都可逆，则称 $F$ 为域（field）。

等价刻画：

1. $F^{*}=F\setminus \{0\}$ 在乘法下成群

1. $F$ 的理想只有 $\{0\}$ 和 $F$

1. $F$ 是整环且有限生成的理想都是主理想

1. 对任意 $a\in F,a\neq 0$，存在 $b\in F$ 使 $ab=1$

表4：域的例子

域	特征	备注
$\mathbb {Q}$	0	有理数域
$\mathbb {R}$	0	实数域
$\mathbb {C}$	0	复数域，代数闭
$\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$	$p$	素数 $p$
$\mathbb {F} _{p^{n}}$	$p$	有限域，$p^{n}$ 个元素
$k(x)$	${\text{char}}(k)$	有理函数域
$\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$	0	二次扩域
${\overline {\mathbb {Q} }}$	0	代数数域，代数闭

2.2 域的性质

命题 2.1： 设 $F$ 是域，则：

1. $F$ 是整环

1. $F$ 的每个非零同态都是单同态

1. $F$ 上的有限维向量空间都是自由模

1. $F$ 的素理想只有 $\{0\}$

1. $F$ 的极大理想不存在（除非考虑真理想，则无极大理想）

   

   域的理想格

表5：域与整环的比较

性质	整环	域
无零因子	✓	✓
非零元可逆	部分	全部
理想结构	可能复杂	只有 $\{0\},F$
素理想	可能多个	只有 $\{0\}$
极大理想	可能多个	无（真理想中）
分式域	存在	自身
特征	0 或素数	0 或素数

3. 素理想与极大理想

3.1 素理想

设 $R$ 是交换幺环，${\mathfrak {p}}\neq R$ 是 $R$ 的理想。称 ${\mathfrak {p}}$ 为素理想，如果：

对任意 $a,b\in R$，若 $ab\in {\mathfrak {p}}$，则 $a\in {\mathfrak {p}}$ 或 $b\in {\mathfrak {p}}$。

等价刻画：

1. $R/{\mathfrak {p}}$ 是整环

1. $R\setminus {\mathfrak {p}}$ 在乘法下封闭

1. 对任意理想 $I,J$，若 $IJ\subseteq {\mathfrak {p}}$，则 $I\subseteq {\mathfrak {p}}$ 或 $J\subseteq {\mathfrak {p}}$

表6：素理想的例子

环	素理想	是否极大
$\mathbb {Z}$	$\{0\},(p)$（$p$ 素数）	$(p)$ 极大
$k[x]$	$\{0\},(f)$（$f$ 不可约）	$(f)$ 极大
$k[x,y]$	$\{0\},(x),(y),(f)$（$f$ 不可约）	$(x),(y),(f)$ 极大
$\mathbb {Z} [x]$	$\{0\},(p),(x),(p,f(x))$	$(p,f(x))$ 可能极大
$k[x,y,z]/(xy-z^{2})$	$\{0\},(x,z),(y,z)$	非极大

3.2 极大理想

设 $R$ 是交换幺环，${\mathfrak {m}}\neq R$ 是 $R$ 的理想。称 ${\mathfrak {m}}$ 为极大理想，如果：

不存在理想 $I$ 使得 ${\mathfrak {m}}\subsetneq I\subsetneq R$。

等价刻画：

1. $R/{\mathfrak {m}}$ 是域

1. ${\mathfrak {m}}$ 是真理想中包含关系的极大元

1. 对任意 $a\notin {\mathfrak {m}}$，有 ${\mathfrak {m}}+(a)=R$

素理想与极大理想格

表7：极大理想的例子

环	极大理想	商环
$\mathbb {Z}$	$(p)$（$p$ 素数）	$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$（域）
$k[x]$	$(f)$（$f$ 不可约）	$k[x]/(f)$（域）
$\mathbb {R} [x]$	$(x-a)$, $(x^{2}+1)$	$\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$
$k[x,y]$	$(x-a,y-b)$	$k$
$C([0,1])$	$\{f:f(t_{0})=0\}$	$\mathbb {R}$
$\mathbb {Z} [i]$	$(1+i)$, $(p)$（$p\equiv 3{\pmod {4}}$）	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, $\mathbb {F} _{p^{2}}$

3.3 素理想与极大理想的关系

命题 3.1： 设 $R$ 是交换幺环，则：

1. 每个极大理想都是素理想

1. 反之不成立：$\{0\}$ 在整环中是素理想但不一定是极大理想

1. 在主理想整环（PID）中，非零素理想都是极大理想

1. 在 Noether 环中，每个真理想都包含于某个极大理想

表8：素理想与极大理想的性质对比

性质	素理想	极大理想
定义	$ab\in {\mathfrak {p}}\Rightarrow a\in {\mathfrak {p}}$ 或 $b\in {\mathfrak {p}}$	包含关系的极大元
商环	整环	域
包含关系	极大理想 ⊆ 素理想	极大理想是素理想
在 $\mathbb {Z}$ 中	$\{0\},(p)$	$(p)$
在 $k[x,y]$ 中	$\{0\},(f)$	$(x-a,y-b)$, $(f)$ 不可约
几何意义	不可约闭集	闭点
存在性	任意环可能无素理想	Noether 环必有极大理想

4. 整环的分类

4.1 主理想整环（PID）

整环 $R$ 称为主理想整环（Principal Ideal Domain, PID），如果 $R$ 的每个理想都是主理想。

例子：

1. $\mathbb {Z}$

1. $k[x]$（$k$ 是域）

1. 欧几里得整环都是 PID

性质：

1. PID 是 Noether 环

1. PID 是唯一分解整环（UFD）

1. PID 中非零素理想都是极大理想

表9：整环的分类层次

类型	定义	例子	包含关系
域	非零元可逆	$\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$	域 ⊂ 欧几里得整环
欧几里得整环	有欧几里得函数	$\mathbb {Z} ,k[x]$	欧几里得整环 ⊂ PID
主理想整环（PID）	每个理想主生成	$\mathbb {Z} ,k[x]$	PID ⊂ UFD
唯一分解整环（UFD）	唯一分解性	$k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$	UFD ⊂ GCD整环
GCD整环	任意两元有最大公因子	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 不是	GCD整环 ⊂ 整环
整环	无零因子	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$	整环

4.2 唯一分解整环（UFD）

整环 $R$ 称为唯一分解整环（Unique Factorization Domain, UFD），如果：

1. 每个非零非单位元都可分解为不可约元的乘积

1. 这种分解在相伴意义下唯一

例子：

1. $\mathbb {Z}$

1. $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$

1. PID 都是 UFD

反例：

1. $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$：$6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$

表10：UFD 的性质

性质	UFD	非 UFD 例子
唯一分解	✓	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$
不可约元是素元	✓	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中 2 不可约但非素
$R[x]$ 也是 UFD	✓	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}][x]$ 非 UFD
主理想性	不一定	$k[x,y]$ 是 UFD 但非 PID
GCD 存在	✓	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中 GCD 不总存在

4.3 欧几里得整环

整环 $R$ 称为欧几里得整环，如果存在函数 $d:R\setminus \{0\}\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$ 使得：

对任意 $a,b\in R,b\neq 0$，存在 $q,r\in R$ 使得：

$a=bq+r$

且 $r=0$ 或 $d(r)<d(b)$。

例子：

1. $\mathbb {Z}$，$d(a)=|a|$

1. $k[x]$，$d(f)=\deg(f)$

1. $\mathbb {Z} [i]$，$d(a+bi)=a^{2}+b^{2}$

表11：欧几里得整环的例子

环	欧几里得函数	是否 UFD	是否 PID
$\mathbb {Z}$	$d(a)=|a|$	✓	✓
$k[x]$	$d(f)=\deg(f)$	✓	✓
$\mathbb {Z} [i]$	$d(a+bi)=a^{2}+b^{2}$	✓	✓
$\mathbb {Z} [\omega ]$, $\omega =e^{2\pi i/3}$	$d(a+b\omega )=a^{2}-ab+b^{2}$	✓	✓
$\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$	$d(a+b{\sqrt {2}})=|a^{2}-2b^{2}|$	✓	✓
$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$	不存在	✗	✗

5. 商环的整环与域性质

5.1 判别商环是否为整环

定理 5.1： 设 $R$ 是交换幺环，$I$ 是 $R$ 的理想，则：

$R/I$ 是整环当且仅当 $I$ 是素理想。

应用：

1. $\mathbb {Z} /(p)$ 是整环当且仅当 $p$ 是素数

1. $k[x]/(f)$ 是整环当且仅当 $f$ 是不可约多项式

1. $k[x,y]/(f)$ 是整环当且仅当 $f$ 是不可约多项式

表12：商环的整环性判别

商环	理想	是否素理想	是否整环
$\mathbb {Z} /(6)$	$(6)$	✗	✗
$\mathbb {Z} /(7)$	$(7)$	✓	✓
$k[x]/(x^{2}-1)$	$(x^{2}-1)$	✗	✗
$k[x]/(x^{2}+1)$	$(x^{2}+1)$	✓（在 $\mathbb {R}$）	✓
$k[x,y]/(xy)$	$(xy)$	✗	✗
$k[x,y]/(y-x^{2})$	$(y-x^{2})$	✓	✓

5.2 判别商环是否为域

定理 5.2： 设 $R$ 是交换幺环，$I$ 是 $R$ 的理想，则：

$R/I$ 是域当且仅当 $I$ 是极大理想。

应用：

1. $\mathbb {Z} /(p)$ 是域当且仅当 $p$ 是素数

1. $k[x]/(f)$ 是域当且仅当 $f$ 是不可约多项式

1. $k[x,y]/(x-a,y-b)$ 是域，同构于 $k$

表13：商环的域性判别

商环	理想	是否极大理想	是否域
$\mathbb {Z} /(5)$	$(5)$	✓	✓
$\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$	$(x^{2}+1)$	✓	✓（同构于 $\mathbb {C}$）
$k[x]/(x^{2})$	$(x^{2})$	✗	✗
$k[x,y]/(x,y)$	$(x,y)$	✓	✓（同构于 $k$）
$\mathbb {C} [x,y]/(y-x^{2})$	$(y-x^{2})$	✗	✗（但是整环）