代数的实际应用

行程问题

行程问题的核心是路程（$s$）、速度（$v$）与时间（$t$）三者的关系。

基本公式为： $s=vt$

由它可推导出： $v={\frac {s}{t}},\quad t={\frac {s}{v}}$

在实际问题中，根据运动物体之间的关系，主要分为以下几类：

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1. 相遇问题

当两个物体相向而行时，其速度和为 $v=v_{1}+v_{2}$。

从初始距离 $s$ 出发到相遇，所需时间为： $t={\frac {s}{v_{1}+v_{2}}}={\frac {s}{v}}$

（其中 $v_{1}$、$v_{2}$ 分别为两物体的速度）

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2. 追及问题

当两个物体同向而行，且后者速度较快时，其速度差为 $v=v_{1}-v_{2}\quad (v_{1}>v_{2})$。

从初始距离 $s$ 出发到追及，所需时间为： $t={\frac {s}{v_{1}-v_{2}}}={\frac {s}{v}}$

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3. 流水行船问题

船在流动的水中航行，其实际速度受船在静水中的速度（$v_{\text{船}}$）和水流速度（$v_{\text{水}}$）共同影响。

• 顺流时，实际速度为两者之和：$v=v_{\text{船}}+v_{\text{水}}$
• 逆流时，实际速度为两者之差：$v=v_{\text{船}}-v_{\text{水}}$

因此，完成一段固定航程 $s$ 所需时间为： $t={\frac {s}{v_{\text{船}}\pm v_{\text{水}}}}$

（式中“±”号取法：顺流用“+”，逆流用“-”。通常认为逆流时 $v_{\text{船}}>v_{\text{水}}$，以保证船能前进。）

工程问题

核心概念：在工程问题中，常把整个工程看作单位1，即工作总量为1。

工作效率：单位时间内完成的工作量，常用几分之几或百分比表示。

核心公式：

$t={\frac {W}{P}}$

或者

$P={\frac {W}{t}}$

（t表示工作时间，P表示工作效率，W表示工作总量）

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1. 单人工作

工作效率$P={\frac {1}{t}}$

工作时间$t={\frac {1}{P}}$

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2. 多人工作

几个人一起做，效率相加。

核心公式：

$t={\frac {1}{P_{1}+P_{2}}}$

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工程问题通常和经济问题一起出现，换下一章节：经济问题

溶液问题

溶液问题通常涉及多种溶液混合，蒸发流失或者是浓度原理

1.基本公式

杂项

1. 最优决策问题

一、最优决策问题概述

最优决策问题旨在从若干可行方案中选择目标函数最大或最小的那个。

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二、常见类型

最优决策问题常分为静态决策和动态决策。

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（1）静态决策

常采用对比法进行决策，对比多种方式达到的目标值并取最值。

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（2）动态决策

每个阶段做选择，影响下一阶段状态。常用 动态规划（DP）。

DP 核心思想：

· 最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解。 · 重叠子问题。 · 定义状态和状态转移方程。