初中数学（香港课程）/坐标系统/3

变换将一点改变位置，画出一个新点。这个新点为原来的点的影像。

平移

当一点向着指定方向移动时，该变换称为平移

探究活动
以黑色圆点纸张于坐标系统标示两点$M(8,\ 5)$和$N(6,\ 9)$ 试顺序记录M和N的新位置 向左平移2单位 向右平移3单位 向上平移1单位 向下平移4单位

左右平移时，点向水平方向移动。因此，y轴坐标不变

• 向左平移，x轴坐标和平移的单位相减
• 向右平移，x轴坐标和平移的单位相加

设原本坐标为$(x,\ y)$

向左平移z单位后的影像是$(x-z,\ y)$

向右平移z单位后的影像是$(x+z,\ y)$

上下平移时，点向铅垂方向移动。因此，x轴坐标不变

• 向下平移，y轴坐标和平移的单位相减
• 向上平移，y轴坐标和平移的单位相加

设原本坐标为$(x,\ y)$

向下平移z单位后的影像是$(x,\ y-z)$

向上平移z单位后的影像是$(x,\ y+z)$

示范例子1 直角坐标系统上有一点$Q(8,\ -6)$，$Q$向左平移9单位至$Q_{1}$，$Q_{1}$向上平移5单位至$Q_{2}$ 解 $Q_{1}=(8-9,\ -6)=(-1,\ -6)$ $Q_{2}=(-1,\ -6+5)=(-1,\ -1)$

同类习题1 {{{3}}}

反射

反射是另一种点的变换，原本的点和影像沿反射轴呈反射对称

探究活动
第一部分：一点反射的法则 在坐标纸上标上$I(3,\ 2)$和$J(1,\ 4)$ 试于以下地方放上镜子，并以一把尺量度点和镜像与镜子的距离 x轴和y轴 $(1,\ 2)$和$(3,\ 2)$组成的直线 写出结论 第二部分：沿轴线反射 利用上述法则 标上$I$和$J$沿x轴反射的结果，并得出坐标 标上$I$和$J$沿y轴反射的结果，并得出坐标 坐标和原本的关系是怎样

原本的点和影像连成的直线和反射轴垂直，并和相交点的距离相等

假设$I$沿$L$反射至$I^{\prime }$ 而$II^{\prime }$交$L$于$M$

1. $IM=I^{\prime }M$
2. $II^{\prime }\perp L$

若果反射轴为x轴，即$M(x,\ 0)$

为保持垂直，$I(x,\ y_{1})$、$I^{\prime }(x,\ y_{2})$ ${\begin{aligned}IM&=I^{\prime }My_{1}-0&=0-y_{2}\\y_{1}=-y_{2}\end{aligned}}$

反射x轴时，x坐标不变，y坐标符号相反。同样地，反射y轴时，y坐标不变，x坐标符号相反。

试考虑一点$(x,\ y)$

1. x轴反射的影像：$(x,\ -y)$
2. y轴反射的影像：$(-x,\ y)$

示范例子2 $A(6,\ -8)$沿x轴反射至$A_{1}$，$A_{1}$沿y轴反射至$A_{2}$ 求$A_{1}$和$A_{2}$的坐标 解 $A_{1}=(6,\ 8)$ $A_{2}=(-6,\ 8)$

同类习题2 {{{3}}}

Extended content
标上$M(5,\ -1)$和$N(-5,\ -1)$，连上$MN$ 试将$I(3,\ 2)$和$J(1,\ 4)$标上 标上沿$MN$反射的影像 记录原点和反射轴的距离，以及原点和影像的距离 得出结论

$\because IM=I^{\prime }M$

$\therefore II^{\prime }=2IM$

一点和影像的距离是一点和反射轴的垂直距离的两倍

沿任一水平或垂直线反射时，相等于沿反射轴的方向平移，距离为和影像的距离

假设一点$(x,\ y)$和反射轴$L$的垂直距离为$k$，影像坐标取决于反射轴为该点的：

1. 左方$=(x-2k,\ y)$
2. 右方$=(x+2k,\ y)$
3. 上方$=(x,\ y+2k)$
4. 下方$=(x,\ y-2k)$

示范例子3 $D(10,\ -5)$沿穿过$(4,\ 0)$的直线$L$反射至$D^{\prime }$，求$D^{\prime }$的坐标 解 $10-4=6$ $D$和$L$的距离为6单位 设$D^{\prime }(x,\ -5)$ ${\begin{aligned}4-x&=6\\4-6&=x\\x&=-2\end{aligned}}$ $D^{\prime }=(-2,\ -5)$

同类习题3 {{{3}}}

旋转

线段可沿其中一端点旋转，该点为旋转的中心

一点$B$沿旋转中心$O$旋转等同于连着旋转点$B$和旋转中心$O$的线段$OB$沿旋转中心$O$的旋转

判断以原点为中心的旋转中，影像坐标的方法：

1. 连接原点和旋转点为一线段
2. 画出旋转后的线段
3. 观察所在的象限，记录端点坐标

若果顺时针旋转和对应逆时针旋转的角度总和一圈，影像的位置一样。

• 90°和270°旋转后的x坐标和y坐标调转，180°和360°则维持不变

顺时针旋转$n^{\circ }$和逆时针旋转$(360-n)^{\circ }$等同：

1. 顺时针旋转$90^{\circ }=$逆时针旋转$270^{\circ }=(y,\ -x)$
2. 旋转$180^{\circ }=(-x,\ -y)$
3. 顺时针旋转$270^{\circ }=$顺时针旋转$90^{\circ }=(-y,\ x)$

示范例子4 $C(-9,\ 7)$顺时针旋转90°至$C_{1}$，$C$旋转180°至$C_{2}$ 写出$C_{1}$和$C_{2}$的坐标 解 $C_{1}=(7,\ 9)$ $C_{2}=(9,\ -7)$

同类习题4 {{{3}}}