初中数学（香港课程）/多项式的运算/3

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计算 解析失败 (语法错误): {\displaystyle (1+2)+(3+4)</math< # <math>1+2+3+4} 推断结论 计算 $(3+4)-(1+2)$ $3+4-1-2$ 推断结论

我们可以将两个多项式加减。进行加法时，可直接移除括号；进行减法时，需先负号分配。

示范例子1 化简下列多项式 $(9+5r)-(7-8r)$ $(4h^{2}-6h)+(3h^{2}+7h)$ 解： ${\begin{aligned}(9+5r)-(7-8r)&=9+5r-7-8r\\&=2-3r\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(4h^{2}-6h)+(3h^{2}+7h)&=4h^{2}-6h+3h^{2}+7h\\&=7h^{2}+h\end{aligned}}$

同类习题1 {{{3}}}

示范例子2 化简$(7m^{3}-m^{2}-4m)+(5m+6m^{2}+2m^{3})$，并以升幂排列 化简$(9b-b^{2}+1)-(4+8b^{2}-3b)$，并以降幂排列 解： ${\begin{aligned}(7m^{3}+4m^{2}-m)+(5m+6m^{2}+2m^{3})&=7m^{3}+4m^{2}-m+5m+6m^{2}+2m^{3}\\&=9m^{3}+10m^{2}+5m\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(9b-b^{2}+1)-(4+8b^{2}-3b)&=9b-b^{2}+1-4-8b^{2}+3b\\&=12b-9b^{2}-3\\&=-9b^{2}+12b-3\end{aligned}}$

同类习题2 {{{3}}}

示范例子2 化简$(5c^{2}+9d^{2})-(8c^{2}+3cd-4d^{2})+(6d^{2}-7cd+c^{2})$ ${\begin{aligned}(4c^{2}+9d^{2})-(6c^{2}+7cd-5d^{2})+(6d^{2}-3cd+c^{2})&=4c^{2}+9d^{2}-6c^{2}-7cd+5d^{2}+6d^{2}+3cd-c^{2}\\&=\end{aligned}}$

同类习题2 {{{3}}}

多项式乘法

使用乘法分配性质移除括号的过程称作展开。

将多项式乘以单项式只需移除一次括号

示范例子1 展开并化简 $6z(z-1)$ $5(v^{2}-3v+4)$ $-l^{2}(8l^{3}+9l-7)$ 解： $6z(z-1)=6z\cdot z-6z\cdot 1=6z^{2}-6z$ $5(v^{2}-3v+4)=5v^{2}-15v+20$ $-l^{2}(8l^{3}+9l-7)=-l^{2}\cdot 8l^{3}-l^{2}\cdot 9l+7l^{2}=7l^{2}-9l^{3}-8l^{5}$

同类习题1 {{{3}}}

使用多次分配律可以乘上两条多项式

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试考虑一个长方形，长在点A分为a和b两段，阔在点B分为c和d两段，从A点和B点分割出四个长方形 求大长方形的长和阔，并求大长方形的面积（代数式表示） 使用拼接法，先求各小长方形的面积，再求大长方形的面积

试考虑$(a+b)(c+d)$:

设$A=a+b$ ${\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=A(c+d)\\&=Ac+Ad\\&=(a+b)c+(a+b)d\\&=ac+bc+ad+bd\end{aligned}}$

示范例子2 展开并化简 $(y+6)(y+5)$ $(3p+7q)(p-4q)$ $(t^{2}+9)(t^{2}-8t+1)$ 解： ${\begin{aligned}({\color {red}y}+{\color {blue}6})({\color {purple}y}+{\color {orange}5})&={\color {red}y}\cdot {\color {purple}y}+{\color {red}y}\cdot {\color {orange}5}+{\color {blue}6}\cdot {\color {purple}y}+{\color {blue}6}\cdot {\color {orange}5}\\&=y^{2}+6y+5y+30=y^{2}+11y+30\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(3p+7q)(p-4q)&=3p^{2}-12pq+7qp-28q^{2}\\&=3p^{2}-5pq-28q^{2}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(t^{2}+9)(t^{2}-8t+1)&=t^{4}-8t^{3}+t^{2}+9t^{2}-72t+9\\&=t^{4}-8t^{3}+10t^{2}-72t+9\end{aligned}}$ 替代解： ${\begin{aligned}(y+6)(y+5)&=y(y+6)+5(y+6)\\&=y^{2}+6y+5y+30=y^{2}+11y+30\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(3p+7q)(p-4q)&=p(3p+7q)-4q(3p+7q)\\&=3p^{2}+7pq-12pq-28q^{2}=3p^{2}-5pq-28q^{2}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}(t^{2}+9)(t^{2}-8t+1)&=t^{2}(t^{2}-8t+1)+9(t^{2}-8t+1)\\&=t^{4}-8t^{3}+t^{2}+9t^{2}-72t+9\\&=t^{4}-8t^{3}+10t^{2}-72t+9\end{aligned}}$

同类习题2 {{{3}}}