初中数学（香港课程）/比率与比例/2

比（英：Ratio）是两个相同单位或无单位的量之商

• a、b为两个正整数

比并没有单位。除了使用分数或百分比表示 （${\frac {a}{b}}$），可以用“:”代替分数线（$a:b$）

如同分数一样，比的两边乘上或相除一个常数$k$，仍然保持相等

• $\because {\frac {ka}{kb}}={\frac {a}{b}}$

$\therefore ka:kb=a:b$

• $\because {\frac {\frac {a}{k}}{\frac {b}{k}}}={\frac {a}{\cancel {k}}}\cdot {\frac {\cancel {k}}{b}}={\frac {a}{b}}$

$\therefore {\frac {a}{k}}:{\frac {b}{k}}=a:b$

示范例子1 化简 $56:32$ ${\frac {1}{3}}:{\frac {2}{5}}$ $90\ {\text{cm}}:3\ {\text{m}}$ 解 $56:32={\frac {56}{8}}:{\frac {32}{8}}=7:4$ ${\frac {1}{3}}:{\frac {2}{5}}=5:6$ $90\ {\text{cm}}:3\ {\text{m}}=90:300=3:10$

同类习题1 {{{3}}}

示范例子2 图书馆中有240本中文图书，150本英文图书 求中文图书的数量比英文图书的数量 求中文图书的数量占全部图书的比 解 $240:150=8:5$ ${\frac {240}{240+150}}={\frac {8}{13}}=8:13$

同类习题2 {{{3}}}

示范例子3 中二级中，男学生与女学生的比例为$9:7$ 如果中二级有128个学生，求男学生的数量 如果女学生有63人，求中二级学生的数量 解 $128\cdot {\frac {9}{9+7}}=72$ 个 ${\frac {63}{\frac {7}{9+7}}}=144$ 个

同类习题3 {{{3}}}

比的代数运算

示范例子3 若果$2m=8n$，求$m:n$ 若果$4y+9x=6y-x$，求$x:y$ 假设$(7p-q):(5p-p)=3$，求$p:q$ 解 ${\begin{aligned}2m&=8n\\{\frac {m}{n}}&=4\\m:n&=4:1\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}4y+9x&=6y-x\\10x&=2y\\x:y&=2:10=1:5\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\frac {7p-q}{5q-p}}&=3\\7p-q&=3(5q-p)\\7p-q&=15q-3p\\10p&=16q\\p:q&=16:10=8:5\end{aligned}}$

同类习题3 {{{3}}}

示范例子4 假设$z:(8z-1)=1:7$，求z 假设$c:d=6:5$，求$(d-c):(c+4d)$ 解 ${\begin{aligned}{\frac {z}{8z-1}}&={\frac {1}{7}}\\7z&=8z-1\\z&=1\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\frac {c}{d}}={\frac {4}{5}}\\c&=1.2d\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\frac {c-d}{c+4d}}&={\frac {1.2d-d}{1.2d+4d}}\\&={\frac {0.2d}{5.2d}}\\&=1:26\end{aligned}}$ k方法： 设$c=6k$，因此$d=5k$ ${\begin{aligned}{\frac {c-d}{c+4d}}&={\frac {6k-5k}{6k+4\cdot 5k}}\\&={\frac {k}{6k+20k}}\\&={\frac {k}{26k}}&=1:26\end{aligned}}$

同类习题4 {{{3}}}