初中数学（香港课程）/比率与比例/4

比例（英：proportion）是两个比的等式。

当两个量（A、B）中任何的值和对应值的商固定，称为正比例（英：direct proportion）

换句话说，其中一个量（B）的值均由另一个量（A）的值乘以固定常数 $k$ 得到

${\begin{aligned}{\frac {B_{2}}{B_{1}}}&={\frac {kA_{2}}{kA_{1}}}\\&={\frac {A_{2}}{A_{1}}}\end{aligned}}$

两个量对应值的比相等。正比例中，一个量上升，另一个量上升；一个量下降，另一个量下降

示范例子1

一个游泳池要让水深为0.9 m，需要36 ${\text{m}}^{3}$ 的水。如果要让水深为1.7 m，需要多少的水？

解

比例法：

设所需水的体积为W

${\begin{aligned}{\frac {W}{36}}&={\frac {1.7}{0.9}}\\W&=68\end{aligned}}$

需要68 $m^{3}$ 的水

归一法：

${\frac {36}{0.9}}=40$

游泳池的底面积是 $40\ {\text{m}}^{2}$

$40\cdot 1.7=68$

需要68 $m^{3}$ 的水

当两个量（A、B）中任何的值和对应值的乘积固定，称为反比例（英：Inverse Proportion）

其中一个量（B）的值与另一个量（A）的倒数（分子分母调换）成正比例

${\begin{aligned}A_{1}\cdot B_{1}&=A_{2}\cdot B_{2}\\{\frac {A_{1}}{A_{2}}}&={\frac {B_{2}}{B_{1}}}\end{aligned}}$

两个量对应值的比互为倒数。反比例中，一个量上升，另一个量下降；一个量下降，另一个量上降。

示范例子2

4只鸡用10天可以产出烘焙店需用的鸡蛋。5只鸡需要用多少天才可产出足够分量的鸡蛋（假设鸡的产量是一样的）

解

比例法：

设d为5只鸡产蛋所需的日数 ${\begin{aligned}{\frac {d}{10}}&={\frac {4}{5}}\\d&=8\end{aligned}}$

5只鸡需要用8天

归一法： $10\cdot 4=40$ 1只鸡用40天需用40天

${\frac {40}{5}}=8$ 5只鸡用8天需用8天

同类习题2

{{{3}}}

示范例子3

如果将8个铝罐熔掉，并重塑少2个铝罐，而铝罐的重量增加96克/个。求原本每个铝罐的重量。

解

比例法：

设原本每个铝罐的重量为c克

${\begin{aligned}{\frac {c+96}{c}}&={\frac {8}{8-2}}\\{\frac {c+96}{c}}&={\frac {4}{3}}\\3(c+96)&=4c\\3c+288&=4c\\c&=288\end{aligned}}$

$\therefore$ 原本每个铝罐重288克

归一法：

设原本每个铝罐的重量为c克

即铝的重量是 $8c$ 克

${\begin{aligned}(8-2)(c+96)&=8c\\6(c+96)&=8c\\6c+576&=8c\\576&=2c\\c&=288\end{aligned}}$

$\therefore$ 原本每个铝罐重288克