初中数学（香港课程）/毕氏定理/2

两个成立的条件和所得的结果相反的几何定理互为逆定理（英：Converse）

毕氏定理的逆定理（简写：逆毕氏定理）指明：

• （假设两边a和b与最长的边c）

如果较短的两边平方和相等最长边的平方（$a^{2}+b^{2}=c^{2}$），该三角形是一个直角三角形

• 其中，直角是较短的两边的夹角
• 如果$a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$，该三角形不是一个直角三角形。

示范例子1 判断下列的三角形是否直角三角形，试解䆁。如是，写出直角的位置。 $\Delta MNO$中，$MO=ON=2{\sqrt {2}}$ cm和$MN=4$ cm $\Delta PQR$中，$PQ=5$ cm、$QR=6$ cm和$PR=7$ cm 解 ${\begin{aligned}MO^{2}+ON^{2}&=(2{\sqrt {2}})^{2}+(2{\sqrt {2}})^{2}\\&=16\end{aligned}}$ $MN^{2}=4^{2}=16$ $\because MO^{2}+NO^{2}=MN^{2}$ $\therefore \Delta MNO$ 是一个三角形，其中$\angle MON=90^{\circ }$（逆毕氏定理） ${\begin{aligned}PQ^{2}+QR^{2}&=5^{2}+6^{2}\\&=61\end{aligned}}$ $PR^{2}=7^{2}=49$ $\because PQ^{2}+QR^{2}\neq PR^{2}$ $\therefore \Delta PQR$ 并不是一个三角形

同类习题1 {{{3}}}

示范例子2 在$\Delta WXY$和$\Delta XYZ$中，直线XYZ组成了$\Delta WXz$。 已知$WY=12$ cm、$XY=3.5$ cm、$WX=12.5$ cm和$WZ=15$ cm。 证明$\Delta WXY$是直角三角形 求$\Delta WXZ$的面积 解 ${\begin{aligned}WY^{2}+XY^{2}&=12^{2}+3.5^{2}\\&=156.25\end{aligned}}$ $WX^{2}=12.5^{2}=156.25$ $\because WY^{2}+XY^{2}=WX^{2}$ $\therefore \Delta WXY$ 是一个三角形（逆毕氏定理） ${\begin{aligned}YZ^{2}+12^{2}&=15^{2}\\YZ^{2}&=81\\YZ&=9\end{aligned}}$ ${\frac {12(3.5+9)}{2}}=75$ $\therefore \Delta WXZ$的面积是$75\ {\text{cm}}^{2}$

同类习题2 {{{3}}}

应用题

示范例子3 两条分别为$20$ cm和$21$ cm长的绳把一块长$29$ cm的长方形招牌，两边绑在天花板的同一点 解释两条绳是垂直的 如果用一条垂直于招牌的绳绑在同一点，求该绳的长度（取三位有效数字） 解 设两条绳分别为AB和AC ${\begin{aligned}AB^{2}+AC^{2}&=20^{2}+21^{2}\\&=841\end{aligned}}$ $BC^{2}=29^{2}=841$ $\because AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$ $\therefore \Delta ABC$是直角三角形 $\therefore$ 两条绳互相垂直 设D使$AD\perp BC$ ${\frac {20\cdot 21}{2}}=210$ $\Delta ABC$的面积是210 cm2 ${\begin{aligned}{\frac {29AD}{2}}&=210\\29AD&=420\\AD&=14.5\end{aligned}}$

同类习题3 {{{3}}}

示范例子4 试考虑长方形纸张ABCD中，$AB=8$、$AD=40$。如果把纸张沿EF折起，使B、D重叠，求$\Delta AEB$的面积。 ${\begin{aligned}AE+ED&=40\\ED&=40-AE\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}8^{2}+AE^{2}&=(40-AE)^{2}\\64+AE^{2}&=1\ 600-80AE+AE^{2}\\80AE&=1\ 536\\AE&=19.2\end{aligned}}$ ${\frac {8\cdot 19.2}{2}}=76.8$

同类习题4 {{{3}}}