# 初中数学/根号

### 基本说明

• a代表某数，${\displaystyle {\sqrt {a}}}$是什么意思呢？就是${\displaystyle {\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}=a}$，变成规则就有：
1. 根号a乘以根号a等于a，${\displaystyle {\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}=a}$
2. 根号a平方等于a，${\displaystyle {\sqrt {a}}^{2}=a}$
3. 根号a的平方等于a，${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a}$
4. a等于根号a乘以根号a，也等于根号a平方，再等于根号a的平方，${\displaystyle a={\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}={\sqrt {a}}^{2}={\sqrt {a^{2}}}}$
5. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$为例，以下四个数均相等：${\displaystyle 2={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}={\sqrt {2^{2}}}}$
• 根号这种运算，乘、除可以拆离、合并，加、减不能拆离、合并。即：${\displaystyle {\sqrt {a*b}}={\sqrt {a}}*{\sqrt {b}}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}$${\displaystyle {\sqrt {a+b}}\neq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}$${\displaystyle {\sqrt {a-b}}\neq {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}$
1. 以4和1为例，${\displaystyle {\sqrt {4*1}}={\sqrt {4}}*{\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{1}}}={\frac {\sqrt {4}}{\sqrt {1}}}}$${\displaystyle {\sqrt {4+1}}\neq {\sqrt {4}}+{\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {4-1}}\neq {\sqrt {4}}-{\sqrt {1}}}$

## 由基本练习理解根号

### 一、平方，求下列各数的值：

12=　　22=　　32=　　42=　　52=　　62=　　72=　　82=　　92=　　102=　　112=　　122=　　0.72=　　(1.2)2=　　${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=}$　　${\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}=}$　　 ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{2}=}$

### 二、根号(开方)，求下列各数的值：

#### (一)、从${\displaystyle {\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}}$开始

${\displaystyle {\sqrt {1}}*{\sqrt {1}}}$=　${\displaystyle {\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}}$=　${\displaystyle {\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {4}}*{\sqrt {4}}}$=　${\displaystyle {\sqrt {5}}*{\sqrt {5}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {6}}*{\sqrt {6}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {7}}*{\sqrt {7}}}$=　 ${\displaystyle {\sqrt {8}}*{\sqrt {8}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {9}}*{\sqrt {9}}}$=　${\displaystyle {\sqrt {10}}*{\sqrt {10}}}$=

#### (二)、从${\displaystyle {\sqrt {a}}^{2}}$开始

${\displaystyle {\sqrt {1}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {2}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {3}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {4}}^{2}}$= 　${\displaystyle {\sqrt {5}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {6}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {7}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {8}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {9}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {10}}^{2}}$=

#### (三)、从 a 开始

1=1　　2=4　　3=9　　4=16　　5=25　　6=36　　7=49　　8=64　　9=81　　10=100

#### (四)、从${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}}$开始

${\displaystyle {\sqrt {1^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {2^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {3^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {4^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {5^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {6^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {7^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {8^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {9^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {10^{2}}}}$=

#### (五)、从${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}}$开始

${\displaystyle {\sqrt {1}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {4}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {9}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {16}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {25}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {36}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {49}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {64}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {81}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {100}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {169}}}$=

### 四、根号求值

• ${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
1. 作短股 1 公分、长股 1 公分的直角三角形，斜边为 c ，依毕氏定理：12+12=c2，所以c2=2，c=${\displaystyle {\sqrt {2}}}$(参见第二段)
2. 用尺量，${\displaystyle {\sqrt {2}}}$约等于 1.4 公分。
3. 由于${\displaystyle {\sqrt {2}}^{2}=2}$，所以一位一位求下去，可以得${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的近似值为 1.414
• ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
1. 作短股 1 公分、斜边 2 公分的直角三角形，长股为 b ，依毕氏定理：12+b2=22，所以b2=3，b=${\displaystyle {\sqrt {3}}}$(参见第二段)
2. 用尺量，${\displaystyle {\sqrt {3}}}$约等于 1.7 公分。
3. 由于${\displaystyle {\sqrt {3}}^{2}=3}$，所以一位一位求下去，可以得${\displaystyle {\sqrt {3}}}$的近似值为 1.732
• ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$
• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$
1. 作短股 1 公分、长股 2 公分的直角三角形，斜边为 c ，依毕氏定理：12+22=c2，所以c2=5，c=${\displaystyle {\sqrt {5}}}$(参见第二段)
2. 用尺量，${\displaystyle {\sqrt {5}}}$约等于 2.2 公分。
3. 由于${\displaystyle {\sqrt {5}}^{2}=5}$，所以一位一位求下去，可以得${\displaystyle {\sqrt {5}}}$的近似值为 2.236
4. 也可以作短股 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 公分、长股 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ 公分的直角三角形，斜边为 c ，依毕氏定理：${\displaystyle {\sqrt {2}}^{2}+{\sqrt {3}}^{2}=c^{2}}$，所以c2=5，c=${\displaystyle {\sqrt {5}}}$(参见第二段)
5. 也可以作短股 2 公分、长股 b 公分、斜边 3 公分的直角三角形，依毕氏定理：22+b2=32，所以b2=5，b=${\displaystyle {\sqrt {5}}}$(参见第二段)
• ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$
1. ${\displaystyle {\sqrt {6}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}}$，不信的话你两边都给它平方，看会不会相等：
• 左边平方${\displaystyle {\sqrt {6}}^{2}=6=2*3={\sqrt {2}}^{2}*{\sqrt {3}}^{2}={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}}$
• 右边平方${\displaystyle \left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)^{2}=\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)*\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}}$
2. 以短股 1 公分、长股 2 公分的直角三角形，斜边为${\displaystyle {\sqrt {5}}}$；再作短股 1 公分长股${\displaystyle {\sqrt {5}}}$公分的直角三角形，斜边为${\displaystyle {\sqrt {6}}}$
3. 第一种求近似值的方法，量${\displaystyle {\sqrt {6}}}$约为 2.4 ，再利用${\displaystyle {\sqrt {6}}^{2}=6}$，求得近似值 2.449 。
4. 第二种求近似值的方法，直接拿 1.414(${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的近似值) 乘以 1.732(${\displaystyle {\sqrt {3}}}$的近似值) ，即得 2.449 (${\displaystyle {\sqrt {6}}}$的近似值) 。
5. 对根号来说，乘法可以拆离、合并，加法不能拆离、合并。
• ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$
1. 以短股 1 公分、斜边 2 公分的直角三角形，长股为${\displaystyle {\sqrt {3}}}$；再作短股 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ 公分长股 2 公分的直角三角形，斜边为${\displaystyle {\sqrt {7}}}$
2. 求近似值的方法，量${\displaystyle {\sqrt {7}}}$约为 2.6 ，再利用${\displaystyle {\sqrt {7}}^{2}=7}$，求得近似值 2.646 。
• ${\displaystyle {\sqrt {8}}}$
1. 作图方法一：作短股 2 公分、长股 2 公分、斜边 c 公分的直角三角形，依毕氏定理：22+22=c2，所以c2=8，c=${\displaystyle {\sqrt {8}}}$(参见第二段)
2. 作图方法二：作短股 1 公分、斜边 3 公分的直角三角形，长股为 b ，依毕氏定理：12+b2=32，所以b2=8，b=${\displaystyle {\sqrt {8}}}$(参见第二段)
3. 第一种求近似值的方法，量${\displaystyle {\sqrt {8}}}$约为 2.8 ，再利用${\displaystyle {\sqrt {8}}^{2}=8}$，求得近似值 2.828 。
4. 第二种求近似值的方法，${\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {2*2*2}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}=2*{\sqrt {2}}}$直接拿 2 乘以 1.414(${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的近似值)，即得 2.828 (${\displaystyle {\sqrt {8}}}$的近似值) 。
• ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$
• ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$
1. 作短股 1 公分、长股 3 公分的直角三角形，斜边为 c ，依毕氏定理：12+32=c2，所以c2=10，c=${\displaystyle {\sqrt {10}}}$(参见第二段)
2. 用尺量，${\displaystyle {\sqrt {10}}}$约等于 3.2 公分。
3. 由于${\displaystyle {\sqrt {10}}^{2}=10}$，所以一位一位求下去，可以得${\displaystyle {\sqrt {10}}}$的近似值为 3.162