数理统计/区间估计

数理统计/区间估计

学习目标

目标项	内容
区间估计概念	置信区间、置信水平、枢轴量
常见参数	均值、方差、比例与两样本差
方法选择	正态/t/卡方/F 及大样本近似

侧重能力	说明
构造枢轴量	用分布不含未知参数的统计量
选用分位点	结合样本量与分布假设
报告规范	区间+置信度+前提条件

常见误区	对策
将置信度当作参数真值概率	强调长期覆盖率含义
忽视正态性/独立性假设	明确条件或改用稳健/近似
盲目双侧	按问题需求选单侧或双侧

基本概念

置信区间

对参数 $\theta$ 给出随机区间 $[L(X),U(X)]$，使 $P_{\theta }\{L(X)\leq \theta \leq U(X)\}=1-\alpha$。

枢轴量

找到与 $\theta$ 无关分布的 $Q(X,\theta )$，用其分位点反解获得区间。

元素	记号	含义
置信水平	$1-\alpha$	长期覆盖率
下上限	$L(X),U(X)$	由样本计算
枢轴量	$Q(X,\theta )$	已知分布

置信度	双侧分位点（示例）	备注
90%	$z_{0.95},t_{n-1,0.95}$	大样本或t
95%	$z_{0.975},t_{n-1,0.975}$	常用标准
99%	$z_{0.995},t_{n-1,0.995}$	更宽

输出要素	规范写法	注意
区间	$[L,U]$	单位/精度
置信水平	例如 95%	明前提
方法说明	正态/t/卡方/F/近似	列出假设

单总体均值的区间

方差已知（正态）

${\bar {X}}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n)$，$Z={\dfrac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$。

$\mu$ 的 $1-\alpha$ 区间：$\left[{\bar {X}}-z_{1-\alpha /2}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}},\ {\bar {X}}+z_{1-\alpha /2}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]$。

方差未知（正态）

$T={\dfrac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}$。

区间：$\left[{\bar {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}{\dfrac {S}{\sqrt {n}}},\ {\bar {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}{\dfrac {S}{\sqrt {n}}}\right]$。

情形	枢轴量	区间
$\sigma ^{2}$ 已知	$Z$	基于 $z$ 分位
$\sigma ^{2}$ 未知	$T$	基于 $t$ 分位

单总体方差的区间（正态）

${\dfrac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$。

$\sigma ^{2}$ 的 $1-\alpha$ 区间：

$\left[{\dfrac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}},\ {\dfrac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}}\right]$。

参数	枢轴量	分布	备注
$\sigma ^{2}$	$(n-1)S^{2}/\sigma ^{2}$	$\chi _{n-1}^{2}$	正态前提

单总体比例的区间

正态近似

${\hat {p}}=Y/n$，当 $n{\hat {p}}(1-{\hat {p}})$ 足够大：

$\left[{\hat {p}}-z_{1-\alpha /2}{\sqrt {\dfrac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}},\ {\hat {p}}+z_{1-\alpha /2}{\sqrt {\dfrac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}\right]$。

Wilson 区间（改进近似）

${\dfrac {{\hat {p}}+{\dfrac {z^{2}}{2n}}\pm z{\sqrt {{\dfrac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}+{\dfrac {z^{2}}{4n^{2}}}}}}{1+{\dfrac {z^{2}}{n}}}}$，其中 $z=z_{1-\alpha /2}$。

方法	区间宽度	覆盖表现
正态近似	较简单	极端比例时偏差大
Wilson	略复杂	覆盖更稳健

两总体比较

两均值差（方差未知，正态且独立）

方差相等时用合并方差 t；方差不等时用不等方差 t（自由度近似）。

两比例差（大样本）

${\hat {d}}={\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2}$，区间近似：

${\hat {d}}\pm z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\dfrac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\dfrac {{\hat {p}}_{2}(1-{\hat {p}}_{2})}{n_{2}}}}}$。

目标	条件	提示
均值差	正态/大样本；独立	方差是否相等需判定
比例差	样本量适中偏大	也可用改进近似

单侧区间

需要给出下限或上限形式，例如 $(-\infty ,U]$ 或 $[L,\infty )$，分位点改用单侧。

目标	单侧形式	说明
均值上限	${\bar {X}}+z_{1-\alpha }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$	控制超标风险
比例下限	Wilson 单侧	更稳健

章节测验

单选题一

下列哪项陈述正确？

1. 95%置信区间表示参数有95%的概率落入本次区间
2. 95%置信区间表示构造方法的长期覆盖率为95%
3. 95%置信区间一定比90%更窄
4. 置信区间不依赖样本量

显示答案/解析

答案：2。置信度是方法的长期覆盖率；区间宽度受置信度与样本量影响。

单选题二

当总体正态且方差未知时估计均值，适合使用：

1. z 区间
2. t 区间
3. 卡方区间
4. F 区间

显示答案/解析

答案：2。

计算题

某样本 $n=100$，${\bar {X}}=10$，$S=2$，求均值的95%区间（用 z 近似）。

显示答案/解析

解：$10\pm 1.96\times 2/{\sqrt {100}}=10\pm 0.392$，即 $[9.608,10.392]$。

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