数理统计/常见分布族与充分统计量

数理统计/常见分布族与充分统计量

学习目标

目标项	内容
指数族结构	一参数/多参数自然指数族形式
充分统计量	因子分解定理、最简充分
完备性	指数族的完备充分条件

能力要点	说明
识别指数族	将密度写成指数族标准形
寻找充分统计量	应用因子分解准则
判断完备性	用指数族定理判定

常见误区	对策
把“充分=完备”	区分定义并逐项验证
忽略参数空间	指数族完备需自然参数空间开集
混淆最简充分	利用极大似然等价类或Neyman定理

指数族

密度/质量函数可写为 $f(x\mid \theta )=\exp \{\eta (\theta {)}^{\mathrm{\top }}T(x)-A(\theta )\}h(x)$。$T(X)$ 常为充分统计量。

分布	参数	指数族写法要点	充分统计量
伯努利/二项	$p$	$\eta =\ln \frac{p}{1-p}$，$T=\sum X_i$	$\sum X_i$
泊松	$\lambda$	$\eta =\ln \lambda$，$T=\sum X_i$	$\sum X_i$
正态（均值未知，方差已知）	$\mu$	$\eta =\mu /{\sigma }^2$，$T=\sum X_i$	$\sum X_i$
正态（均值、方差未知）	$\mu ,{\sigma }^2$	二参数指数族	$\sum X_i,\sum X_i^2$
指数	$\lambda$	$\eta =-\lambda$，$T=\sum X_i$	$\sum X_i$

充分统计量与因子分解定理

若存在分解 $f(x\mid \theta )=g(T(x),\theta )h(x)$，则 $T(X)$ 为充分统计量。

模型	样本	充分统计量示例	备注
正态($\mu$未知,${\sigma }^2$已知)	独立同分布	$\sum X_i$ 或 $\overline{X}$	线性等价
正态($\mu ,{\sigma }^2$未知)	独立同分布	$\sum X_i,\sum (X_i-\overline{X}{)}^2$	与 $\sum X_i^2$ 等价
二项($n$已知)	成功次数	$\sum X_i$	记为 $Y$

完备性与最小方差无偏

对正则指数族，若自然参数空间为开集且 $T(X)$ 非退化，则 $T(X)$ 完备。配合充分性与Lehmann–Scheffé定理，可得最小方差无偏估计。

概念	定义/结论	应用
完备	$\mathrm{\forall }g,{\mathrm{E}}_{\theta }g(T)=0\Rightarrow P(g(T)=0)=1$	唯一化无偏估计
最简充分	由似然比等价类诱导	压缩数据且不丢信息

章节测验

单选题

下列哪项一定为充分统计量？

1. 一切统计量
2. 指数族中的 $T(X)$（在标准表示下）
3. 样本中位数
4. 样本极差

显示答案/解析

答案：2。指数族标准形的 $T(X)$ 为充分统计量。

判断题

若 $T$ 完备充分，则基于 $T$ 的一切无偏估计均为最小方差无偏。

1. 对
2. 错

显示答案/解析

答案：对。由Lehmann–Scheffé定理。

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