数理统计/概率论复习

数理统计/概率论复习

学习目标

目标项	内容
公理与公式	概率公理、条件概率、全概率、贝叶斯
分布与矩	常见分布的参数、期望、方差
极限定理与推断	大数定律、中心极限定理的作用

侧重能力	说明
建模与假设	明确独立、同分布、方差同质等
计算与化简	正确代入与边界核对
解释与沟通	会用图表与示意说明结果

常见误区	对策
混淆频率与概率	明确样本频率与理论概率的差异
把不相关当独立	强调条件与定义
忽视条件	写清条件再计算

核心公式回顾

条件概率

$P(A\mid B)={\dfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}$（要求 $P(B)>0$）

全概率公式

$P(A)=\sum _{i}P(A\mid B_{i})P(B_{i})$，其中 $\{B_{i}\}$ 为两两互斥且完备的划分

贝叶斯公式

$P(A\mid B)={\dfrac {P(B\mid A)P(A)}{P(B)}}$

期望与方差

$\mathrm {E} (X)=\sum _{x}x\,P(X=x)$ 或 $\int xf(x)\,\mathrm {d} x$；$\mathrm {Var} (X)=\mathrm {E} [(X-\mu )^{2}]$

协方差与相关

$\mathrm {Cov} (X,Y)=\mathrm {E} [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]$；$\rho ={\dfrac {\mathrm {Cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}$

主题	公式	适用场景
条件概率	$P(A\mid B)={\dfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}$	已知信息下更新判断
全概率	$P(A)=\sum _{i}P(A\mid B_{i})P(B_{i})$	分情形求和
贝叶斯	$P(A\mid B)={\dfrac {P(B\mid A)P(A)}{P(B)}}$	先验与证据合并

概念	表达式	备注
期望	$\mathrm {E} (X)$	集中趋势
方差	$\mathrm {Var} (X)$	离散程度
相关系数	$\rho$	线性相关强度

小结点	关键提示
写条件	先写清事件与条件再代入
查边界	检查概率是否在 $[0,1]$
合理性	结果与直觉是否一致

常见分布与要点对照表

分布	记号	参数	期望	方差	典型场景
伯努利分布	$\mathrm {Bern} (p)$	$p\in (0,1)$	$p$	$p(1-p)$	一次成败试验
二项分布	$\mathrm {Bin} (n,p)$	$n,p$	$np$	$np(1-p)$	多次独立成败试验之和
几何分布	$\mathrm {Geom} (p)$	$p$	${\dfrac {1}{p}}$	${\dfrac {1-p}{p^{2}}}$	首次成功的等待次数
泊松分布	$\mathrm {Pois} (\lambda )$	$\lambda >0$	$\lambda$	$\lambda$	稀有事件计数
指数分布	$\mathrm {Exp} (\lambda )$	$\lambda >0$	${\dfrac {1}{\lambda }}$	${\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}$	无记忆的等待时间
正态分布	${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu ,\sigma ^{2}$	$\mu$	$\sigma ^{2}$	误差聚合与近似极限
卡方分布	$\chi _{k}^{2}$	$k\in \mathbb {N}$	$k$	$2k$	正态变量平方和
学生t分布	$t_{k}$	$k$	0（$k>1$）	${\dfrac {k}{k-2}}$（$k>2$）	小样本均值推断
F分布	$F_{d_{1},d_{2}}$	$d_{1},d_{2}$	${\dfrac {d_{2}}{d_{2}-2}}$（$d_{2}>2$）	方差比与方差分析

分布	概率质量/密度	取值范围
伯努利分布	$P(X=1)=p,\;P(X=0)=1-p$	$\{0,1\}$
泊松分布	$P(X=k)={\dfrac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$	$\{0,1,2,\dots \}$
指数分布	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$	$x\geq 0$
正态分布	$f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \!\left(-{\dfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$	$x\in \mathbb {R}$

分布组合关系	结论	条件
泊松到指数	到达间隔为指数分布	齐次到达率
二项近似正态	和的分布近似正态	次数大、概率不极端
卡方、t、F关系	t、F 来自正态与卡方的比值	独立性与自由度满足条件

极限定理

大数定律：在独立同分布条件下，样本均值 ${\bar {X}}_{n}$ 收敛到总体均值 $\mu$。

中心极限定理：${\dfrac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\Rightarrow {\mathcal {N}}(0,1)$。

定理	形式	含义
大数定律	样本均值收敛到总体均值	频率近似理论概率
中心极限定理	标准化和趋于标准正态	构造区间与检验的基础

使用场景	对应结论	注意点
估计总体均值	用样本均值作估计	样本量与方差影响误差
抽样分布近似	用正态或t近似	条件与自由度
稀有事件计数	泊松近似二项	事件独立、概率小

常见误解	纠正
把中心极限定理当作必然正态	只是近似，需要条件
忽略方差缩小速度	误差随样本量按平方根缩小
用在强相关样本上	条件不满足会失效

概率计算步骤

1. 明确事件与样本空间
2. 判断是否独立、是否需要按情形分区
3. 写出条件概率或进行后验更新
4. 代入参数并核对取值范围与边界

步骤	动作	输出
1	写明事件与条件	符号化描述
2	判定独立或分区	划分 $\{B_{i}\}$
3	建立公式	条件概率/全概率/贝叶斯
4	代入化简	检查边界与单位

检查项	示例	通过标准
概率范围	结果不小于0不大于1	在 $[0,1]$
单位一致	频率、概率不可混用	一致
条件一致	分母不为0	合法

备忘	说明
画图	概率树或分区图
边界	极端值检验
近似	样本量足够时使用

依赖与独立

关系	特征	备注
相互独立	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	条件概率不改变边际
在条件下独立	$P(A\cap B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)$	给定 $C$ 后断开依赖
负相关	$\rho <0$	相关性不等于因果

概念	数学表达	要点
不相关	$\mathrm {Cov} (X,Y)=0$	不必然独立
独立	联合等于边际乘积	强于不相关
条件独立	条件下联合等于条件边际乘积	常见于图模型

判断技巧	依据	注意事项
看联合与边际关系	是否满足乘积关系	注意条件事件概率非零
看协方差与相关	$\rho =0$ 不代表独立	仅反映线性关系
结合情境知识	物理或业务逻辑	避免机械代入

章节测验

单选题一

问：哪一条直接说明样本均值趋近总体均值？

1. 大数定律
2. 中心极限定理
3. 贝叶斯公式
4. 无记忆性

显示答案/解析

答案：大数定律。

单选题二

问：泊松过程在单位时间内到达次数的分布是：

1. 几何分布
2. 指数分布
3. 泊松分布
4. 正态分布

显示答案/解析

答案：泊松分布；相邻两次到达的时间间隔服从指数分布。

判断题

断言：不相关必然独立。

1. 对
2. 错

显示答案/解析

答案：错。不相关并不必然独立。

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